Multiscale volatility analysis via Malliavin calculus

Abstract

Bu tezde, dinamik risk primlerinin çoklu-ölçekli analizinin yapılması amacıyla çoklu-fraktalsüreçler ve stokastik süreçlerin stabilite özellikleri çalışılmıştır. Çoklu-fraktalsüreçler ilk olarak türbülant akışların istatistiksel özelliklerinin modellenmesi amacıylatanımlanmıştır ve oynaklık birikimi, uzun-dönem bağlılık ve toplamsal yerine çarpımsaldavranışı ima eden ölçek-değişmezliği ile karakterize edilir. Bir veri setinin çoklu-fraktalkarakterizasyonu, aynı zamanda, çoklu-fraktal tayfı, tekillik tayfı ve genellenmiş boyutlar ile de elde edilebilir. Finansal piyasaların karmaşık dinamikleri kaotikdavranışı andırmaktadır ve bu benzerlik çoklu-fraktal finansal modellerin oluşturulmasınısağlamıştır. Bu tezde, finansal piyasaların çoklu-fraktal yapısını çoklu-ölçeklirisk primlerinin varlığı ile ilişkilendirilmesi amaçlanmıştır. Anlık risk primlerininölçülmesi için Malliavin kalkülüs teknikleri kullanılarak fiyat-oynaklık geribeslemeetkisi ölçülmüştür. Fiyat-oynaklık geribesleme etkisi, yeniden ölçeklenmiş varyasyonungenişleme oranı olarak tanımlanmıştır ve çalışmamız dahilinde bu etkinin, ölçüdeğişimine yol açan pertürbasyonun yerel Lyapunov üsteli olduğu gözlemlenmiştir.Kaotik davranışı tanımlayan temel karakteristik başlangıç durumuna hassas bağlılıktırve varlığı Lyapunov üstelleri ile ölçülebilir. Çalışmamızda, fiyat-oynaklık geribeslemeetkisinin boyutsal analizi yapılarak çoklu-ölçekli risk primlerinin varlığı gösterilmiştir.Bu bağlamda, genellenmiş boyutlar çalışmanın temel unsuru olarak ön plana çıkmaktadır. Çalışmada ilk olarak empirik verinin çoklu-fraktal analizi yapılmış, sonrasında Fourierserisi tekniği ile anlık oynaklık ve fiyat-oynaklık geribesleme serileri tahmin edilmiştir.Literatüre empirik katkı olarak, Fourier tekniği ile tahmin edilen anlık oynaklık serilerininçoklu-fraktal analizi yapılmıştır. Çoklu ölçekli risk primlerinin varlığını göstermekamacı ile, getiri ve fiyat-oynaklık geribesleme serilerinin boyutsal analizi yapılmışve elde edilen genellenmiş boyut tayflarının birbirine benzer davranışı gözlemlenmiştir.Bu sonuç, çoklu-ölçekli doğrusal olmayan risk primlerinin varlığına işaret etmektedir.

In this thesis, we study multifractal stochastic processes and stability properties ofstochastic processes with the aim of analyzing the multiscale characteristics of dynamicrisk premiums present in financial asset prices. Multifractal processes are firstdefined to model the statistical properties of turbulent flows and characterized by thescale-invariance property, which implies volatility clustering, long-range dependencyand multiplicative instead of additive behavior. The multifractal characterization ofa dataset can be obtained, also, via the multifractal spectrum, the singularity spectrumand the generalized dimensions. The complex dynamics of financial marketsresembling chaos recently gave rise to the development of multifractal models in finance.In the present study we aim to relate the multifractal behaviour of markets tothe existence of multiscale risk premiums. We employ Malliavin calculus techniquesto analyze the dynamics of the instantaneous risk premiums by estimating the pricevolatilityfeedback effect rate, which is defined as the expansion rate of the rescaledvariation resulting from the perturbation of the stochastic process. Throughout ourstudy, we discover that the price-volatility feedback effect rate is the local Lyapunovexponent of the perturbation resulting in the change of measure. The fundamental indicatorof chaotic dynamics is generally accepted to be the sensitive dependency toinitial conditions, which can be measured via the Lyapunov exponents. The local Lyapunovexponents (LLE) characterize the finite-time behaviour of the expansion rates.We analyze the dimensional properties of the price-volatility feedback effect rate toshow the existence of multiscale risk premiums in financial return series. The generalized dimensions constitutes the basis of our study as they allow for the analysis ofperturbations of multifractal processes and LLEs.To bring the multifractal framework and Malliavin calculus techniques together, wefirst perform multifractal analysis of the empirical datasets. Then, we estimate the instantaneousvolatilities and the price-volatility feedback effect rate series of the datasetsusing the recently defined Fourier series method. Additionally, analyze the multifractalcharacteristics of the instantaneous volatilities, while the usual multifractal analysisassumes multifractality of absolute returns. To demonstrate the existence of multiscalerisk premiums, we perform dimensional analysis of both the return and the estimatedinstantaneous price-volatility feedback effect rate series. We conclude with the observationthat the generalized dimensions spectrums of both series coincide, whichsuggests that the existence of scale-dependent non-linear type of behavior of the riskpremiums in financial asset prices.