Exit probabilities of Markov modulated constrained random walks

Abstract

X'in Z^2_+'de (0, 0), (1, 0), (−1, 1), (0,−1) adımlarını atan kısıtlı bir rastgele yürüyüşolduğunu ve adımların artış olasılıklarının homojen Markov zincirinin durumuyla belirlendiğini söyleyelim. X, ortalama servis oranları μ_1(M_k) ve μ_2(M_k) olan arkaarkaya çalışan iki hizmet sağlayıcıdan hizmet almak için bekleyen, ortalama varışoranı λ(M_k) olan müşterilerin (paket, iş v.b.) her bir servis sağlayıcıyı beklerkenoluşturdukları iki kuyruğun uzunluklarını temsil eder. M_k Markov zincirinin şu andakidurumunu gösterir. Ortalama varış oranının ortalama servis oranlarından dahaküçük olduğunu varsayalım, yani X'in dengeli bir süreç olduğunu kabul edelim. Xdengeli olduğunda, süreç orijine her çarptığında yeniden başlayan döngülerle hareketeder. X sürecinin kuyruk uzunluklarının toplamının n olduğu sınıra, yani ∂A_n ={x : x(1) + x(2) = n}'e ilk çarpma anını τ_n ile gösterelim. Eğer kuyruklar ortakkapasite kullanıyorsa, p_n = P_(x,m)(τ_n < τ_0) sistemin herhangi bir döngüde kapasiteaşımı, bir başka deyişle, sistemin başarısız olma olasılığıdır. Y, X ile aynı rastgeleyürüyüş olmakla birlikte, sadece ∂_2 = {y ∈ Z×Z_+ : y(2) = 0} üzerinde kısıtlıdır vebirinci bileşeninin artış olasılıkları yer değiştirmiştir. Y 'nin bileşenlerinin birbirineeşit olduğu sınırı B = {y ∈ Z^2 : y(1) = y(2)}, B sınırına ilk çarpma anını τ olarakgösterelim. x ∈ R^2_+ ve x(1) + x(2) < 1 için x_n = ⌊nx⌋ şeklinde tanımlayalım ve Markov zinciri M'in ilk noktasını m ∈ M ile gösterelim. Bu tezde, x(1) > 0 için, P_((x_n(1),x_n(2)),m)(τ_n < τ_0) olasılığının P_((n−x_n(1),x_n(2)),m)(τ < ∞) olasılığı ile, üstel olarak 0'a yakınsayan göreli hatayla, yaklaşık olarak hesaplanabileceği gösterilmiştir. (Y,M)-harmonik fonksiyonları oluşturulmuş ve bunların doğrusal kombinasyonlarıylaP_(y,m)(τ < ∞) için yaklaşık formüller geliştirilmiştir. Harmonikfonksiyonlar, bileşenleri modülasyon zincirinin geçiş olasılıklarına ve Y sürecininartış olasılıklarına bağlı olan bir matrisin özdeğerleri ile tanımlanan ve Y sürecineait karakteristik yüzey üzerinde bulunan noktalar ile oluşturulmuştur. Çalışmamızınbulguları ve yaklaşımının finans ve sigortacılık alanlarındaki olası uygulamaları gösterilmiştir.

Let X be the constrained random walk on Z^{2}_+ with increments (0, 0), (1, 0), (−1, 1), (0, −1) whose jump probabilities are determined by the state of a finite state Markov chain M. X represents the lengths of two queues of customers (or packets, tasks, etc.) waiting for service from two servers working in tandem; the arrival of customers occur with rate λ(M_k), service takes place at rates μ_1(M_k), and μ_2(M_k) where M_k denotes the current state of the Markov chain M. We assume that the average arrival rate is less than the average service rates, i.e., X is assumed stable. Stability implies that X moves in cycles that restart each time it hits the origin. Let τ_n be the first time X hits the line ∂A_n ={x:x(1)+x(2)=n}, i.e., when the sum of the queue lengths equals n for the first time; if the queues share a common buffer, τ_n represents the time of a buffer overflow and p_n = P_(x,m)}(τ_n < τ_0) is the probability that a given cycle ends with a buffer overflow, i.e., system failure. Let Y be the same random walk as X but only constrained on ∂_2 = {y ∈ Z×Z+ : y(2) = 0} and its jump probabilities for the first component reversed. Let B = {y∈Z^2: y(1) = y (2)} and let τ be the first time Y hits B. For x∈R^2_+, with x(1) + x(2)< 1 define x_n = ⌊nx⌋ and let m ∈ M denote the initial point of the Markov chain M. We show that P_(n−x_n(1),x_n(2)),m)(τ < ∞) approximates P_(x_n(1),x_n(2)),m)(τ_n < τ_0) with exponentially vanishing relative error when x(1) > 0. We then construct a class of harmonic functions for (Y, M) and use their linear combinations to develop approximate formulas for P_(y,m)(τ < ∞). The construction is based on points on a characteristic surface associated with Y defined through the eigenvalues of a matrix whose components depend on the transition matrix of the modulating chain and the jump probabilities of Y. We indicate possible applications of our results and approach in finance and insurance.