Exit probabilities of constrained simple random walks

Abstract

X iki boyutta en yakın komşularına geçerek hareket eden, pozitif koordinat düzlemine kısıtlı bir rastgele yürüyüş olsun. Bu yürüyüşün dengeli olduğu farz edilsin yani, artışlarının ortalaması orijin ((0,0) noktası) yönünde olsun. X, iki paralel kuyruk sistemindeki kuyruk uzunluklarını veya bilgisayar biliminde iki yığının uzunluğunu temsil etmektedir. pn, rastgele yürüyüşün her iki bileşeninin toplamının orijine geri dönmeden n gibi büyük bir değere ulaşması olasılığını göstersin. pn olasılığı bu sistemler için doğal bir performans ölçüsüdür ve yoğun bir döngüde taşma olasılığını ifade etmektedir. Rastgele yürüyüşün dengeli olmasından dolayı pn olasılığı, n arttıkça üstel hızla sıfıra yakınsar. Y , X ile aynı özelliklere sahip fakat sadece ikinci bileşeni kısıtlı ve birinci bileşeninin artıs ̧ olasılıkları yer değiştirmis ̧ iki boyutlu rastgele yürüyüş olsun. Bu tez, X'in başlangıç noktasının birinci bileşeni 0 dan farklı seçildiğinde, pn olasılığının, Y rastgele yürüyüşünün pn'e karşılık gelen bir olasılığıyla yaklaşık olarak hesaplanabildiğini ve bu yaklaşık hesapta göreli hatanın üstel hızla sıfıra yakınsadığını göstermektedir. Ayrıca bu tezde bir karakteristik yüzey üzerindeki tek ve eşlenik noktalardan yola çıkarak Y -harmonik fonksiyonları oluşturulmus ̧ ve bu fonksiyonlar kullanılarak Y 'nin pn'e karşılık gelen olasılığı, bazı durumlarda mükemmel şekilde ve genel olarak üstten sınırlı göreceli hata ile yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Yapılan hesaplamaların etkinliğini gösteren sayısal örnekler verilmis ̧ ve bu hesaplamaların finans ve sigortacılık sektörlerindeki olası uygulamalarından bahsedilmiştir.

Consider a nearest neighbor stable two dimensional random walk X constrained to remain on the positive orthant. X is assumed stable, i.e., its average increment points toward the origin. X represents the lengths of two queues (or two stacks in computer science applications) working in parallel. The probability pn that the sum of the components of this random walk reaches a high level n before the random walk returns to the origin is a natural performance measure, representing the probability of a buffer overflow in a busy cycle. The stability of the walk implies that pn decays exponentially in n. Let Y be the same constrained random walk as X, but constrained only on its second component and the jump probabilities on its first component reversed. The present thesis shows that one can approximate pn with the probability that components of Y ever equal each other, with exponentially decaying relative error, if X starts from an initial point with nonzero first component. We further construct a class of Y -harmonic functions from single and conjugate points on a characteristic surface, with which the latter probability can be either computed perfectly in some cases, or approximated with bounded relative error in general. We provide numerical examples showing the effectiveness of the computed approximations and indicate possible applications of our results in finance and insurance.