A comparison of constant and stochastic volatility in Merton`s portfolio optimization problem

Abstract

Merton'un portföy problemi, varlık getirilerinin ve volatilitelerinin sabit olduğunuvarsayan bir dinamik portföy seçim problemidir. Varlık getirileri ve volatiliteleri arasindakorelasyon olduğuna dair önemli bulgular mevcuttur. Bu durum göz önününde bulundurulduğunda, stokastik volatilite kullanılan dinamik portföy seçimlerinin daha iyisonuç vermesi öngorülmektedir. Bu bağlamda, Liu, model parametrelerinin, X ileifade edilen, dışsal süreçlere bağlı olduğu genel bir portföy seçim modeli geliştirmiştir.[J.Liu, Portfolio selection in stochastic environments, Review of Financial Studies, 20(1),2007] Merton portföy probleminde, Heston stokastik volatilitesi olduğu durum (MertonH) ve volatilitenin sabit olduğu durum, farklı durumlar olarak bu genel modeliniçeriği dahilindedir. Liu'nun çözümü, belli bir sonuç formunun, ilgili Hamilton JacobiBellman (HJB) denkleminde değiştirilmesini, bunun sonucunda bu denklemin kısmidiferansiyel denkleme (PDE) dönüşümünü ve daha sonra da bu PDE'nin bir takim adidiferansiyel denklemlere (ODE) indirgenmesini içermektedir. Bu tezde bu işlemlerindetayları verilmiştir. Daha sonra Liu'nun Merton H modeli için verdiği eksplisit çözümkullanılarak, Merton probleminde, stokastik volatilitenin sabit volatilite ile değitirilmesininetkisi incelenmiştir. Bunun sonucunda ortalamaya dönüş hızı, Sharpe oranı,risk iştahı parametrelerine bağlı olan bir oranın (stokastik volatiliteye hassasiyet oranı)önemli olduğu tespit edilmiştir. Bu oran küçük iken stokastik volatilitenin modele dahiledilmesinin optimal portföy seçimi üzerindeki etkisi azdır. Bu oran büyük iken(Sharpeoranının yüksek olduğu ve yatırımcıların risk iştahı yüksek iken), stokastik volatiliteninhesaba katılması portföy seçimini etkilemektedir.

Merton's Portfolio Problem is a dynamic portfolio choice problem, which assumesasset returns and covariances are constant. There is well documented evidence that,stock returns and volatilities are correlated. Therefore, stochastic volatility models indynamic portfolio problems can give better results. The work [J. Liu, Portfolio selectionin stochastic environments, Review of Financial Studies, 20(1), 2007] developeda general dynamic portfolio model that allows the parameters of the model to dependon an external process X; this general model includes Merton's portfolio problem withHeston stochastic volatility (Merton H) and constant volatility as special cases. Liu'ssolution involves substituting solutions of a specific form into the Hamilton JacobiBellman (HJB) equation associated with the problem and reducing it first to a simplerPartial Differential Equation (PDE), and then reducing this PDE into a sequence ofOrdinary Differential Equations (ODE). In this thesis we give the details of these reductions.We then use the explicit solutions provided by Liu for the Merton H modelto see the effect of replacing stochastic volatility with constant volatility in Merton'sproblem. We find that, a ratio(sensitivity to stochastic volatility ratio) depending onmean reversion rate, risk aversion and Sharpe ratio is the most important parameter inthis respect. When the value of this ratio is small, incorporating stochastic volatilityinto the model has little effect on the optimal portfolio. When it is large (when Sharperatio is high and the investor has low risk aversion) taking stochastic volatility intoconsideration is meaningful.