Numerical studies of korteweg-de vries equation with random input data

Abstract

Diferansiyel denklemler, endüstri ve doğa bilimlerindeki fiziksel fenomenleri matematiksel olarak modellemenin ve özellikleri hakkında bilgi edinmenin temel aracıdır.Deterministik diferansiyel denklemler, doğadaki kaçınılamaz belirsizliklerden dolayı fiziksel olarak gözlenen fenomenleri yeterince modelleyememektedir.Diferansiyel denklemlerin girdileri ya da katsayılarının rassal değişkenler olarak kullanılması, fiziksel olayların fark edilmeyen özelliklerini netleştirebilen bir stokastik diferansiyel denklemi ortaya çıkarır.Rassal girdili Korteweg-de Vries (KdV) denklemi doğada oluşan tekil dalgaların modellenmesi ve tanımlanması için temel bir diferansiyel denklemdir.Bu denklemler zamana bağlı toplama rassalığı veya uzaya bağlı çarpımsal rassallığı ile ifade edilebilir.Rassal girdili diferansiyel denklemlerin genellikle analitik çözümü bulunmadığından, diferansiyel denklem üzerinde kullanılan belirsizliğin nicelleştirilmesi ve yayılması sayısal yaklaşım teknikleriyle yapılır.Bu tez, olasılık uzayında stokastik Galerkin, mekansal boyutta yerel süreksiz Galerkin yöntemi ve zamansal boyutta teta (ağırlıklı ortalama) yöntemi kullanılarak Korteweg-de Vries denkleminin rassal girdi verileriyle sayısal olarak incelenmesine odaklanacaktır.Sayısal uygulamalarda, hem olasılıksal gürültü hem de çarpımsal gürültü durumları Monte Carlo ve stokastik kolokasyon gibi yöntemler ve uzaysal yaklaşım için sonlu farklar yöntemi gibi diğer sayısal tekniklerle karşılaştırılarak değerlendirilmektedir.

Differential equations are the primary tool to mathematically model physical phenomenain industry and natural science and to gain knowledge about its features.Deterministic differential equations does not sufficiently model physically observedphenomena since there exist naturally inevitable uncertainties in nature. Employingrandom variables or processes as inputs or coefficients of the differential equationsyields a stochastic differential equation which can clarify unnoticed features of physicalevents. Korteweg-de Vries (KdV) equation with the random input data is a fundamentaldifferential equation for modeling and describing solitary waves occurring innature. It can be represented by employing time dependent additive randomness intoits forcing or space dependent multiplicative randomness into derivative of the solution.Since analytical solution of the differential equation with the random data inputdoes not exist, quantifying and propagating uncertainty employed on the differentialequation are done by numerical approximation techniques. This thesis will focus onnumerical investigation of the Korteweg-de Vries equation with random input databy employing stochastic Galerkin in probability space, local discontinuous Galerkinmethod in spatial dimension, and theta (weighted average) method in temporal dimension.In numerical implementations, both additive noise and multiplicative noisecases are considered by comparing with other numerical techniques such as MonteCarlo and stochastic collocation methods for the probability space and finite difference method for the spatial discretization.