Primitive elements in finite fields arbitrary trace

Abstract

SONLU CİSİMLERDE HERHANGİ TRACE DEĞERİNE SAHİP İLKEL ELEMANLAR Özet Sonlu cisimlerin aritmetiği matematiğin diğer alanlarındaki önemi dışında kod- lama ve şifreleme gibi uygulamalarda da sıkça kullanılır. Cismin tüm diğer eleman larının gösterilişine imkan verdiği için sonlu cisimlerin ilkel elemanlarına özellikle ilgi duyulmaktadır. Bu sebepten genelde ilkel elemanlar, özellikle de bazı şartları sağlayan ilkel elemanlar konularında kapsamlı araştırmalar yapılmaktadır. Biz, sonlu cisimlerin genişlemelerinde herhangi bir trace değerine sahip ilkel elemanların varlığı problemiyle ilgileneceğiz. Bu varlık problemi iki önemli ku ram yoluyla çözülebilir. Bunlardan birincisi karakter toplamları diğeri ise cebirsel fonksiyon cisimleridir. Bu tezin amacı sözü geçen iki önemli kuramın bazı temel özelliklerini açıklamak ve yukarda tanımlanan varlık probleminin cevaplanmasında nasıl kullanıldıklarını göstermektir. Anahtar kelimeler: Sonlu cisim, ilkel eleman, trace, karakter toplamı, cebirsel fonksiyon cismi. vu

PRIMITIVE ELEMENTS IN FINITE FIELDS WITH ARBITRARY TRACE Abstract Arithmetic of finite fields is not only important for other branches of mathematics but also widely used in applications such as coding and cryptography. A primitive element of a finite field is of particular interest since it enables one to represent all other elements of the field. Therefore an extensive research has been done on primitive elements, especially those satisfying extra conditions. We are interested in the existence of primitive elements in extensions of finite fields with prescribed trace value. This existence problem can be settled by means of two important theories. One is character sums and the other is the theory of algebraic function fields. The aim of this thesis is to introduce some important properties of these two topics and to show how they are used in answering the existence problem mentioned above. Keywords: Finite field, primitive element, trace, character sum, algebraic func tion field. VI