On increasing (non) stationary levy processes: An easy approach using renewal processes

Abstract

Anahtar Kelimeler: Artan Levy Sürecleri, Yenileme Süreçleri,Artan durağan (olmayan) Levy süreçleri, Y¨oneylem Araştırması veMühendisliklerdesıkça kullanılır. Bu stokastik süreçlerinin temel uygulama alanlarından bazıları sigortamatematiği, envanter kontrolü ve bakımdır. Durağan (olmayan) Poisson ve bilesik Poissonsüreçleri ¨ozel ve oldukça tanınan örnekleridir. Kitaplarda, (artan) Levy süreçleri,sürekli zamanlı Martingale'lerin özel bir kolu olarak görüldüğü için Levy süreçlerinintemel özellikleri, genel Martingale bulguları uygulanarak elde edilmistir. Ancak Martingaleteorisini anlamak için Stokastik süreçler teorisi üzerine derin bir bilgiye sahip olmakgerekmektedir ve dolayısıyla artan Levy süreçlerinin temel özelliklerinin kanıtlarınıanlamak oldukça zor olabilir. Bu nedenle buçalışmanın temel amacı artan Levysüreçlerini daha basit Stokastik süreçlere benzetmek ve temel özellikleri için daha basitkanıtlar sağlamaktır. Neyseki Yenileme süreçleri sayesinde, Artan Levy süreçleriniStokastik süreçlere bağlayan doğal bir yol vardır. Bu yolu kullanarak ve Yenilemesüreçlerinin özelliklerini uygulayarak, artan Levy süreçlerinin eksik kalan (undershoot)ve aşma (overshoot) rastgele sürecini analiz etmeyi başardık. Benzer bir yöntemlevurma zamanının r seviyesindeki asimtotik özelliklerini deçıkarabildik. Bu tezde bilinensonuçlara ek olarak yeni sonuçlar da bulduk. Yenileme süreçleri ve Artık Yaşamsüreçleri için olan Lorden eşitliğini hem artan Levy süreçlerinin r seviyesindeki vurmazamanı hemde aşma süreci için genişlettik.

Keywords: Increasing Levy Process, Renewal Process.Increasing (non)stationary Levy processes are widely used in Operations Researchand Engineering. The main areas of applications of these stochastic processes areinsurance mathematics, inventory control and maintenance. Special and well knowninstances of these processes are (non) stationary Poisson and compound Poisson processes.Since in textbooks (increasing) Levy processes are mostly regarded as specialinstances of continuous time martingales the main properties of Levy processes arederived by applying general results available for martingales. However, understandingthe theory of martingales requires a deep insight into the theory of stochastic processesand so it might be difficult to understand the proofs of the main properties of increasingLevy processes. Therefore the main purpose of this study is to relate increasingLevy processes to simpler stochastic processes and give simpler proofs of the mainproperties. Fortunately there is a natural way linking increasing Levy processes torandom processes occurring within renewal theory. Using this (sample path) approachand applying properties of random processes occurring within renewal theory we areable to analyze the undershoot and overshoot random process of an increasing Levyprocess. By a similar approach the (asymptotic) properties of the hitting time at levelr can also be derived. Next to well known results we also derive new results in thisthesis. In particular we extend Lorden?s inequality for the renewal function and theresidual life process to both the expected hitting time and the expected overshoot ofan increasing Levy process at level r.