Cauchy problems for a class of nonlocal nonlinear bi-directional wave equations

Abstract

Bu tez çalışmasında elastik bir sürekli ortamdaki doğrusal olmayan dalga hareketiniyöneten iki yerel olmayan model önerilmiş olup, bu yerel ve doğrusal olmayandalga denklemlerine karşı gelen Cauchy problemleri ele alınmıştır. Her iki model deFourier dönüşümleri negatif olmayan genel çekirdek fonksiyonları ile tanımlı konvolüsyon integral operatörleri içermektedir. Modellerden bir tanesi boyuna dalgayayılımını yöneten tek denklem üzerine inşa edilirken, diğer model enine dalgalarınyayılımını yöneten iki kuple denklem üzerine inşa edilir. Boussinesq tipi denklemlergibi doğrusal olmayan dalga yayılımının iyi bilinen denklem örnekleri, çekirdekfonksiyonlarının uygun seçimleri için önerilen modellerden elde edilebilirler. Butezin temel amacı Cauchy problemlerinin iyi tanımlılığını tartışmaktır. Bu amaçla,başlangıç koşullarının yeterince düzgün olduğu ve doğrusal olmayan terimin bazıpozitiflik özelliklerine sahip olduğu varsayımları altında, modellerin çözümlerininglobal varlıkları ispatlanmıştır. Buna ek olarak, çözümlerin sonlu zamanda patlaması icin yeter koşullar elde edilmiştir.

In this thesis study, two nonlocal models governing nonlinear wave motions in acontinuous medium are proposed and the Cauchy problems corresponding to thesenonlocal nonlinear wave equations are considered. Both of the models involve convolutionintegral operators with general kernel functions whose Fourier transforms arenonnegative. One of the models is based on a single equation governing the longitudinalwave propagation, whereas the other model is based on two coupled equationsgoverning the propagation of transverse waves. Some well-known examples of nonlinearwave equations, such as Boussinesq-type equations, follow from the proposedmodels for suitable choices of the kernel functions. The main aim of this thesis is todiscuss well-posedness of the Cauchy problems. For this purpose, global existenceof solutions of the models assuming enough smoothness on the initial data togetherwith some positivity conditions on the nonlinear term are established. Furthermore,sucient conditions for nite time blow-up are provided.