On lattices from function fields

Abstract

Bu tezde, sonlu bir cisim üzerindeki fonksiyon cismi F ve yerlerinin altkümesi P kullanılarak oluşturulan latisler, L, çalışıldı. Fonksiyon cismi latisleri olarak anılan bu latislerin, minimal vektörlerinin gerdiği alt latisin mertebesiyle ilgilenildi. Daha önceki çalışmalarda P kümesi F'nin derecesi 1 olan yerlerinden oluşuyordu. Biz fonksiyon cismi latislerinin tanımını P'nin herhangi bir derecedeki yeri içermesi durumuna genişlettik. Bu tanıma göre, fonksiyon cismi latislerinin mertebe, determinant, minimum uzaklık, minimal vektör sayısı gibi bazı temel özelliklerini inceledik. Eliptik ya da Hermitian fonksiyon cisimlerinden elde edilen latislerin minimal vektörlerinin gerdiği alt latisin mertebesi tamdır. Ancak, hipereliptik fonksiyon cisimlerini de içeren, geniş bir fonksiyon cismi sınıfı ile ilişkili latislerin bu özelliği taşımadığını gösterdik.

In this thesis, we study the lattices L associated to a function field F over a finite field and a subset P of places of F, which are the so-called function field lattices. We mainly explore the well-roundedness property of L. In previous papers, P is always chosen to be the set of all rational places of F. We extend the definition of function field lattices to the case where P may contain places of any degree. We investigate the basic properties of L such as rank, determinant, minimum distance and kissing number. It is well-known that lattices from elliptic or Hermitian function fields are well-rounded. We show that, in contrast, well-roundedness does not hold for lattices associated to a large class of function fields, including hyperelliptic function fields.