Contributions to the theory of function fields in positive characteristic

Abstract

Bu tezde pozitif karakteristikteki fonksiyon cisimleri teorisine ilişkin iki problem ele alınmıştır.Birinci bölümde, karakteristiği p > 0 olan cebirsel kapalı bir cisim üzerinde tanımlı olan ve cinsi g'nin 2'den büyük olduğu fonksiyon cisiminin otomorzmaları çalışılmıştır. Otomorfizma grubunun herhangi bir sıfırkuvvetli altgrubu G için G'nin mertebesinin p'nin bir kuvveti olmadığı durumda bu mertebenin 16(g-1) ile sınırlı olduğu ve p'nin bir kuvveti olduğu durumda ise 4pg^2/(p- 1)^2 ile sınırlı olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bu sınırları sağlayan fonksiyon cisimleri örnekleri verilmiştir; böylelikle, elde edilen sınırların geliştirilemeyeceği gösterilmiştir.İkinci bölümde, sonlu cisimler üzerine genişs otomorfizma grubu olan maksimal fonksiyon cisimlerine odaklanılmıştır. Daha açık olarak, Fp4 sonlu cismi uzerinde tanımlı ve otomorfizma grubunun mertebesi Hurwitz sınırını geçen maksimal fonksiyon cisimleri ele alınmıştır. Bazı koşullar altında Hermitsel fonksiyon cisminin bu maksimal fonksiyon cisminin Galois genişlemesi olduğu gösterilmiştir.

In this thesis, we consider two problems related to the theory of function fields in positive characteristic.In the first part, we study the automorphisms of a function field of genus g at least 2 over an algebraically closed field of characteristic p > 0. We show that for any nilpotent subgroup G of the automorphism group, the order of G is bounded by 16(g-1) when G is not a p-group and by 4pg^2/(p - 1)^2 when G is a p-group. Also, there are examplesof function fields attaining these bounds; therefore, the bounds we obtained cannot be improved. In the second part, we focus on maximal function fields over finite fields having large automorphism groups. More precisely, we consider maximal function fields over the finite field Fp4 whose automorphism groups have order exceeding the Hurwitz's bound. We determine some conditions under which the maximal function eld is Galois covered by the Hermitian function field.