Varyasyonlar hesabının problemleri

Abstract

ÖZET Bu çalışmada, klasik varyasyonlar hesabının dejenere olmuş problemleri ele alınmış ve bu problemlerin genel teorisini oluşturan gerek ve yeter şartlar araştırılmıştır. Klasik varyasyonlar hesabında dejenere olmuş problemler denince, geleneksel olarak, güçlendirilmiş Legendre şartının bozulması, dolaysıyla ortaya çıkan parça-parça sürekli türevlenebilir fonksiyonların, verilen varyasyon problemine nıinimum veya maksimum vermesi probleminin araştırılması anlaşılır. Bu tezde Legendre şartının sonlu sayıda bozulduğu durumlar incelenmiş, singüler kuadratik fonksiyonelin pozitiflik koşullan ortaya çıkarılmıştır. Ayrıca, en büyük veya en küçük değeri, süreksiz fonksiyonlar üzerinde alan, varyasyon problemleri ilk defa ele alınmış, bu problemler için 1. mertebeden gerek şart teorisi kurulmuştur. Varyasyon hesabmda önemli rol oynayan, 2.mertebeden gerek ve yeter şartların önemli kısmı olan, eşlenik nokta kavramı özel durumlarda genelleştirilmiş ve singular kuadratik fonksiyonelin pozitifliği problemine uygulanmıştır. ikinci mertebeden Diferansiyel denklemlerin çözümünün pozitifliği daha önce Legendre ve Jacobi tarafından incelenmiş. Bu çalışmada ise başka bir metodla, ikinci mertebeden diferansiyel denklemin bir çözümünün pozitif olması için bir teorem ispat edilecektir. Bu tezdeki teorik araştırmalar çok sayıda somut örneklerle açıklanmış ve uygulama nitelikli problemler çözülmüştür.

III SUMMARY In this study the dejenerate problems of classical variational calculus are handed. The necessary and sufficient conditions of the general theory of these problems are searched. Traditionally when dejenerate problems of classical variational calculus are said it is understood that searching the piecewise continuous differentiable functions which arise by the deformation of Legendre conditions given maximum or rninimum value to the given variational problems. In this study the Legendre conditions which are deformed at finite number of times are searched; and also conditions of positivity of singular quadratic functionals are to come to light. On the other hand the variational problems which take the maximum value or minimum value over the space of discontinuous functions are handed. At the first time and also for this problem theory of necessary condition is established for one degree. Second degree necessary and sufficient conditions play an important role in the theory of variational calculus. Conjugate point concept which is an important part of the second degree necessary and sufficient conditions is generalized for special conditions and also applied problem of positivity of singular quadratic functionals. In this work the theoretic researches are explained by a number of concrete examples and some problems are solved for application.