Lineer olmayan hiperbolik denklemlerin global çözümlerinin olmaması hakkında

Abstract

ÖZET LİNEER OLMAYAN HİPERBOLİK DENKLEMLERİN GLOBAL ÇÖZÜMLERİNİN OLMAMASI HAKKINDA Bu çalışmada; sınır koşullarında veya denklemin kendisinde, dissipatif terim bulunduran hiperbolik denklemle verilmiş bir sınıf başlangıç-sınır değer probleminin global çözümlerinin yokluğu problemi ele alınmıştır. İncelenen problemlerin her birinde global çözümlerin yokluğu; H.A. Levine[24] tarafından önerilen konkavlık metodu veya V.K. Kalantarov ve O. A. Ladyzhenskaya[15] tarafından bu yöntemin geliştirilmiş şekli olan genelleştirilmiş konkavlık metodu kullanılarak, ispatlanmıştır. Bu metodlarda, sınır koşullarının özelliklerini de yansıtan ve belli bir norma göre çözümü temsil eden bir fonksiyonel yazarak, bu fonksiyonelin Levine veya Kalantarov-Ladyzhenskaya lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilir. Bu lemmaların sonucunda sonlu t zamanmda bu fonksiyonellerin ve dolayısıyla çözümün normunun patladığı bulunur. Birinci bölümde; bu konuda günümüze kadar yapılmış olan çalışmalar hakkında kısa bilgi verilmiştir. İkinci bölümde; tezde kullanılan ve teze temel teşkil eden bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ; Gutt~aAu + cu = bf(u) denklemi, uygun başlangıç koşulları ve dinamik sınır koşulu ile birlikte global çözümlerinin yokluğu, Kalantarov-Ladyzhenskaya lemması ile incelenmiştir. Bu denklemin özel bir hali olan utt - Au = f(u)denklemi, başlangıç koşulları ile birlikte sınırın bir parçasında Dirichlet ve diğer parçasında dinamik sınır koşulu olması durumunda, başlangıç-sınır değer probleminin global çözümlerinin yokluğu araştırılmış ve bir sayısal örnek verilmiştir. Dördüncü bölümde; Pun + Q(t)ut + A(t, u) = F(t, u), t e J = [O, oo) evolusyon denkleminde A{u) = -div^Du/p Duj, uygun başlangıç koşulları ve u(x, t) = Q sınır koşulu ve A(u)=2bA2u + bA(/Vu/2Au)-bYddl((Au)2diu) ;=1 du ve uygun başlangıç koşulları ile birlikte u(x,t) = 0, - = 0 sınır koşulları alınarak, dn sonlu bir [0,7`) aralığında global çözümlerinin yokluğu Levine lemması kullanılarak araştırılmıştır. İkinci probleme bir sayısal örnek verilmiştir. Beşinci bölümde; a herhangi bir sabit olmak üzere, dissipatif terim içeren kuazi lineer ^Jı^ /p-2 / i 1/7-2 i,/-2 w#-VVwvu)+aut=/u/ u + /u/ u dalga denklemi ile birlikte, uygun başlangıç koşulları ve u(x, 0 = 0 sınır koşulu alınarak, başlangıç- sınır değer problemi incelenmiştir. v(t) = e~``u(t) dönüşümü ile denklem, katsayılardaki operatörlerin zamana bağlı olduğu vtt + (2m + a)vt + (m2 + am)v - e(p-2)mtV(/Vv/p~2 Vv) = e~``/e (e^mt/vf2v + eil-1)mt/v/l'2v) denklemine dönüştürülmüştür, v için uygun başlangıç koşulları ve v(x,/) = 0 sınır koşulu ile oluşturulan bu smır-değer probleminin global çözümlerinin yokluğu Kalantarov-Ladyzhenskaya lemması kullanılarak araştırılmıştır. VIBütün problemlerde ispatlar enerji integrali kullanılarak yapılmıştır. Önceki problemlerde başlangıç enerjisi negatiftir. Bu problemde ise başlangıç enerjisinin pozitif olması önemlidir. Son olarak; elde edilen sonuçlar tartışılmış ve bu konuda daha sonra yapılması düşünülen çalışmalar hakkında önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Global çözümlerin yokluğu, konkavlık metodu, genelleşmiş konkavlık metodu, çözümün patlaması. VII

SUMMARY NONEXISTENCE OF GLOBAL SOLUTIONS OF NONLINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS In this study, the nonexistence of the global solutions to some class of initial- boundary value problems with dissipative terms in the boundary conditions and dissipative terms in the equations are investigated for some hyperbolic equations. The nonexistence of global solutions in each of the problems which have been investigated has been proved through the use of concavity method which put forward by H. A. Levine[24] and by the use of generalized concavity method, which is the improved version of the above mentioned method by V.Kalantarov and O. A. Ladyzhenskaya[15]. In these methods one writes down a functional which reflects the properties of dissipative boundary conditions and represents the norm of the solution in some sense, then proves that this functional satisfies the hypotheses of Levine Lemma or Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma. Hence from the conclusion of these lemmas one concludes that in finite time t, these functionals and hence the norm of the solutions blow up. In the first chapter, the historical development of the studies in this area is informed. In the second chapter, preliminary facts and fundemental definitions used in the thesis are presented. In the third chapter, using Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma, the nonexistence of the global solutions of Gutt -a Au + cu~ bf(u) VIIIwith suitable initial conditions and a dissipative boundary condition are investigated. In this chapter the nonexistence of the global solutions of utt-Au = f(u) with a Dirichlet boundary condition in a certain part of the boundary and dissipative boundary condition in the other part of boundary and a numerical example is also investigated. In the fourth chapter,using Levine Lemma, the nonexistence of the global solutions of the evolution equations Putt + Q(t)ut + A{t, u) = F(t, u), t e J = [O, oo ) where A(u) - -div/Du/p 2 Duj with suitable initial conditions and with u(x, 0 = 0, t e [O, T) on the boundary is studied.Similarly taking A(u)=2bA2u + bA(/Vu/2Au)-bJ^d,((Au)2diu) du with suitable initial conditions and with u(x, t) = 0, - = 0 on the boundary in the dn finite time [O, T) interval. A numerical example is given to the second case. In the fifth chapter, a quasilinear wave equation is treated with dissipative term in the equation,_./!__ 1/7-2 i ıp-2 i i/-2 wff-V/vw/u]+aut-/u/ w + «u where a is any arbitrary constant, with suitable initial conditions and u(x, t) = 0 boundary condition, by taking v(t) = e~m'u(t), the equation is transformed into v` + (2m + a)vt + (m2 + am)v - eip-2)mt V(Vv^2 Vv) ^e-mt{e(p-l)mt/v/P'2v + e('-1)mt/v/''2v) IXwhere coefficient operators are functions of time. The nonexistence of the global solutions of the above equation with suitable initial conditions and v(x,t) = 0 on the boundary, is investigated by Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma. The nonexistence proofs of the problems in this chapter are obtained by using a suitable energy integral. For the problems of the previous chapter the initial energy was negative but in this problem, it is important that, initial energy is positive. Finally some new directions in this field are suggested and some propositions concerning these equations and related problems are laid down. Key Words: Nonexistence of global solutions, concavity method, generalized concavity method, blow up. X