Lineer olmayan parabolik denklem sistemi ile verilen bir başlangıç-sınır değer probleminin global çözümünün yokluğu

Abstract

ÖZET LİNEER OLMAYAN PARABOLİK DENKLEM SİSTEMİ İLE VERİLEN BİR BAŞLANGIÇ-SINIR DEĞER PROBLEMİNİN GLOBAL ÇÖZÜMÜNÜN YOKLUĞU Bu çalışmada; ekolojide Volterra-Lotka rekabet modelini temsil eden denklem sisteminin global çözümünün yokluğu problemi, Neumann ve Dirichlet sınır koşullan ile ele alınmıştır. Bu problem incelenirken V.K. Kalantarov ve O. A. Ladyzhenskaya [9] tararından geliştirilen genelleştirilmiş konkavlık yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemde, yerel çözümün varlığı temel alınarak, denklemin ve sınır koşullarının özelliklerini taşıyan ve belli bir norma göre denklemin yerel çözümünü temsil eden pozitif bir yif) fonksiyonunun, Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilir. Sonuçta, ys(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun sonlu bir / anında sonsuz olduğu bulunur. Çalışmanın giriş bölümünde; lineer olmayan parabolik denklem ve denklem sistemlerinin başlangıç-sınır değer problemlerinin global çözümlerinin yokluğu ve çözümlerin patlaması konularında bugüne kadar yapılmış çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Birinci bölümde; tezde kullanılan kavramlar ve tezin oluşumunda yararlanılan yöntem tanıtılmıştır. İkinci bölümde; Q c R` de sınırlı ve yeterince düzgün, 8Ü, sınırına sahip bir bölge olmak üzere, ut-Au=fl(t,u,v)+<p(x,t,u,ux,v) xefl, t>0 v(-Av = f2(t,u,v) + <p(x,t,u,v) xgQ,, t>0 denklem sistemi, mu(x,6) = u0 (x), v(x,0) = v0 (x), başlangıç koşullan, sınır koşullan ile, başlangıç-sınır değer probleminin global çözümünün yokluğunu incelemek için, //pozitif bir sabit olmak üzere iki kez türevlenebilen pozitif y/(t) fonksiyonu, A')=/{H'42+H.*th+» şeklinde ele alınarak, bu fonksiyonun, enerji integrali yardımıyla Kalantarov- Ladyzhenskaya Lemmasmm hipotezlerini sağladığı gösterilmiştir. Sonuçta, ı//(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun, sonlu bir t anında sonsuz olduğu bulunmuştur. Üçüncü bölümde, aynı denklem sistemi ve başlangıç koşullan ele alınarak sınır koşulları, ^-1 =0 ^1 = 0 8nl8Q ' dnlda ile değiştirilerek, problemin global çözümünün yokluğu incelenmiştir. Bu incelemede, T0,y yek pozitif sabitler olmak üzere pozitif y/{t) fonksiyonu, ¥(t) = J (K, rf + 1 v(.,rf )dr + (TQ - /)(Hf + v02)+ y(t + kf IVşeklinde ele alınarak, bu fonksiyonun, enerji integrali yardımıyla Kalantarov- Ladyzhenskaya Lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilmiştir. Sonuçta, y/(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun sonlu bir t anında sonsuz olduğu bulunmuştur. Sonuç olarak, parabolik tipte denklem sistemi ile verilen bir başlangıç-sınır değer probleminin global çözümünün yokluğu, değişik tipte sınır koşullan ile ele alınarak genelleştirilmiş konkavlık yöntemi ile incelenmiş ve global çözümünün olmaması koşullan elde edilmiş, bu koşullar altında çözümün yokluğu ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Volterra-Lotka rekabet modeli, Dirichlet ve Neumann koşulları, global çözümün yokluğu, genelleştirilmiş konkavlık yöntemi, enerji integrali. V

SUMMARY NONEXISTENCE OF GLOBAL SOLUTION OF AN INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM GIVEN WITH NONLINEAR PARABOLIC EQUATION SYSTEM In this study, the problem of nonexistence of global solution of equation system representing the Volterra-Lotka competition model in ecology, is handled with Neumann and Dirichlet boundary conditions. While examining this problem, the generalized concavity method improved by V.K. Kalantarov and O.A. Ladyzhenskaya [9] is used. In this method, under the existence of local solution, it is shown that the positive y{t) function, having the properties of the equation and the boundary conditions and representing the local solution of the equation under defined norm, satisfies the hypotheses of Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma. In conclusion, it is found that the y/(t) function namely the norm of the solution is infinite at a finite time t. Information about the studies on the nonexistence of the global solutions and blow up of solution of initial-boundary value problems of nonlinear parabolic equation and equation systems, carried out up to now is given in the introduction. Concepts and the method used in the thesis are introduced in the first chapter. In the second chapter, ut-Au = fl(t,u,v)+<fi(x,t,u,ux,v) xeO, t>0 vt-Av = f2(t,u,v) + (p(x,t,u,v) xeu, *>0 equation system with VIu(x,0) = u0(x), v(x,0) = v0(x), initial conditions and u/ = 0, vl =0 Ian ' İ3Q boundary conditions is defined, where fici?` is bounded and sufficiently uniform with dQ. boundary. In order to examine the nonexistence of global solution of the initial-boundary value problem, a positive twice differentiable y^(/) function is taken as K0=î( KOM »Ctf) *+` where fi is a positive constant. By using energy integral, it is shown that y/{t) function verifies the hypotheses of Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma. In conclusion, it is found that the ys(t) function namely the norm of the solution is infinite at a finite time t. In the third chapter, nonexistence of global solution of a problem with the same equation system and initial conditions but with different boundary conditions such as -l«=o,-L=o dnXaa a«3Q is investigated. In this investigation, positive y/(t) function is defined as rM=}(K.tf+H-*)f) rf`«-<) (hf+M>K<+*)2 vnwhere TQ y and k are positive constants. By using energy integral, it is shown that y/(t) function verifies the hypotheses of Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemma. In conclusion, it is found that the W if) function namely the norm of the solution is infinite at a finite time t. As a result, nonexistence of global solution of an initial-boundary value problem given with a parabolic equation system is investigated with generalized concavity method by taking different types of boundary conditions into consideration and conditions of nonexistence of global solution are found. Nonexistence of global solution is proved under these conditions. Keywords: Volterra-Lotka competition model, Dirichlet and Neumann conditions, nonexistence of global solution, method of generalized concavity, energy integral. VIII