Kesik ULV ayrışımının blok güncellemesi

Abstract

Sayısal rankın hesaplanması ve temel uzayların yaklaşık olarak bulunması problemi pek çok alanda uygulama alanı bulmaktadır. Sinyal işleme, görüntü işleme, kontrol ve istatistik bu alanlar arasındadır. Sayısal rankın konu olduğu matris hesaplamalarında ortogonal dönüşümler önemli bir rol oynar. Çünkü ortogonal dönüşümler sayısal olarak kararlıdır, 2-normu korur ve bir matrisin sayısal rankı hakkında bilgi verir. Ayrıca, ortogonal dönüşümlerde mevcut veri matrisine satır eklenmesi veya çıkarılması işlemleri güvenilir bir biçimde gerçekleştirilebilir. Bir matrisin ortogonal dönüşümünün bulunması için en sık kullanılan yöntem Tekil Değer Ayrışımı (SVD) algoritmasıdır. Alternatif diğer ortogonal dönüşümler ise QR, URV ve ULV ayrışımlarıdır.Bu tez, ULV temel matris ayrışımı, kesik ULV ayrışımı ve kesik ULV ayrışımının blok güncelleme algoritması hakkında bilgi vermektedir. Önerilen algoritma, diğer algoritmalardan farklı olarak yeni eklenen verileri bloklar halinde güncellemektedir. Teorik ve sayısal sonuçlar, ULV ayrışımının SVD?ye iyi bir alternatif olduğunu göstermektedir.Anahtar Kelimeler: ULV Ayrışımı, Kesik ULV Ayrışımı, Blok Güncelleme

The problem of determining the numerical rank and approximating the subspaces has applications in many fields. Signal processing, image processing, control and statistics are among those fields. Orthogonal transformations play an important role in matrix calculations when the numerical rank is an issue. Because orthogonal transformations are numerically stable, preserve the 2-norm and give information about the numerical rank of a matrix. Besides, data update and downdate operations of existing matrix are performed reliably in orthogonal transformations.The most common method for finding the orthogonal transformation of a matrix is Singular Value Decomposition (SVD) algorithm. Other alternative orthogonal transformations are QR, URV and ULV decompositions.This thesis, presents ULV-based matrix decomposition, the truncated ULV decomposition and block updating algorithm for it. Unlike the other algorithms, proposed algorithm updates the new added data as blocks. The theoretical and numerical results show that the truncated ULV decomposition can be a good alternative to the SVD.Keywords: ULV Decomposition, Truncated ULV Decomposition, Block Update