Group divisible designs

Abstract

Bu tez Gruplara Bü lunebilen Tasarımlar (GDD'ler) uzerinedir. GDD'ler Kombina-oü ütoryel Tasarımlar Teorisindeki ana yapılardan birisidir. GDD'ler ilk defa 1975'deHanani tarafından tanımlanmıs ve o gunden bu yana mesala PBD, Frame ve BIBDş ügibi kombinatoryel yapıların insaasında sıkca kullanılmıstır.ş ş şBir GDD (X, G, B) uclusu olarak tanımlanır oyle ki, X noktaların olusturduguüş ü ü şü Ëkume olmak uzere, asagıdaki ozelliklerin saglanması gerekir:şËü ü ü Ë(1) G X'in gruplar dedigimiz parcalarından olusur.ş şË(2) B X'in alt kumlerini (blokları) iceren bir kumedir oyleki bir grup ve bir blokşü ü üen fazla bir noktada kesisebilir.ş(3) Farklı gruplardan secilen her ikili sadece ve sadece bir blokta gorunur.ş üü ügu1 gu2 . . . gus cesitindeki bir K â GDD oyle bir GDD'dir ki her blogun uzunlugusşş ü Ë Ë12K kumesinin icindedir ve her i = 1, 2, . . . , s icin gi buyuklugundeki gruptan uiş şü ü ü üËütane vardır. Bizim calısmamızda her blogun uzunlugu sabit bir k'dr. Bu tezdeşş Ë Ëanlatacaklarımız:(1) 3 â GDDs cesitleri:şş(i) gu (duzenli 3 â GDDs)ü(ii) gu m1(iii) gu 1t(iv) g1 v1 1 g(2) 4 â GDDs cesitleri:şş(i) gu (duzenli 4 â GDDs)ü(ii) gu m1 .v

This thesis is on Group Divisible Designs (GDDs), one of the main structures inCombinatorial Design Theory. GDDs were ï¬rst introduced by Hanani in 1975 andwidely used in constructing other combinatorial structures such as pairwise balanceddesigns, f rames and balanced incomplete block designs since then.A GDD is a triple (X, G, B), where X is the point set, which satisï¬es the followingproperties:(1) G is a partition of X into subsets called groups.(2) B is a set of subsets of X (called blocks) such that a group and a block contain atmost one common point.(3) every pair of points from distinct groups occurs in a unique block.A K â GDD of type gu1 g2 2 . . . gus is a GDD where every block has size from theus1set K and there are ui groups of size gi , for i = 1, 2, . . . , s. In our study all blockshave size k. In this thesis we will present:(1) 3 â GDDs of type:(i) gu (uniform 3 â GDDs)(ii) gu m1(iii) gu 1t(iv) g1 v1 1 g(2) 4 â GDDs of type:(i) gu (uniform 4 â GDDs)(ii) gu m1 .iv