Construction of a consistent quantum mechanical system with non-hermitian set of operators

Abstract

Geleneksel olarak, bir quantum mekaniği sistemindeki güzlenirler (observable)g oHilbert uzay ndaki Hermitik operatürler ile güsterilir. Bunun temel sebebi Hermi-o otik operatürlerin üzdeğerlerinin gerşel olmas ve bu üzdeğerlerin gerşel say lar olano og c og cdeney verilerini temsil ediyor olmas d r. Son zamanlarda, Hermitik olmayan an-cak üzdeğerleri gerşel olan operatürler quantum mekaniksel sistemleri ifade etmekteog c okullan l yor. Bunu mümkün k lan sebepler şunlard r: 1) Ayr k spektruma sahip diag-uu sonalleştirilebilir lineer operatür H'nin üzdeğerleri gerşel olur ancak ve ancak H sahte-s o og cHertmitik (pseudo-Hermitian) ise yani H â = ηHη â1 , burada η s n rl (bounded),Hermitik, tersi s n rl ve tüm uzayda tan ml (invertible) olan ve tamamen-pozitifu(positive-deï¬nite) bir lineer operatürdür; 2) Eğer yeni bir iş şarp m tan mlarsak, şüyleou g cc soki; Hilbert uzay ndaki tüm ξ , Ï işinu c Î¾Ï = Î¾Î·Ï , H bu yeni iş şarp ma gürecc oηHermitik olur. η tekil değildir, ancak gerşel üzdeğerlere sahip operatürler seti seşilip η-g co g o csahte-Hermitik (η-pseudo-Hermitian) olmas sağlan rsa, η sabit şarp m na kadar tekilg colarak belirlenebilir. Burada gerekli matematik temeli ayr nt l olarak oluşturulduktanssonra η işin tekillik teoremi verildi. Ayr ca bu teorem iki boyutlu kompleks Hilbertcuzay ndaki bir quantum sistemi işin ayr nt l hesaplamalarla uyguland . Bunun işinc cdiagonalleştirilebilir ve gerşel üzdeğerlere sahip operatür H'nin genel formu elde edildi,s co g oH'nin η-sahte-Hermitik olduğu en genel η bulundu, diagonalleştirilebilir, gerşel üzdeğerlereg s co gsahip ve η-sahte-Hermitik diğer bir operatür O'nun formu belirlendi ve son olarak Og ove H'nin indirgenmez (irreducible) bir set olarak seşiminin η'y sabit şarp m na kadarc ctekil olarak belirlediği güsterildi.go1

Conventionally, observables of quantum mechanical systems are represented byHermitian linear operators acting in a separable Hilbert space. This is mainly be-cause Hermitian operators have real eigenvalues and eigenvalues of an observablerepresent experimental results which are also real numbers. Recently, non-Hermtianoperators with real eigenvalues have been employed in the description of quantummechanical systems. The following key observations makes this possible: 1) A di-agonalizable linear operator H with a discrete spectrum has real eigenvalues if andonly if H is η-pseudo-Hertmitian, i.e.,H â = ηHη â1 , for a bounded, Hermitian, invert-ible and positive-deï¬nite η; 2) If we deï¬ne a new inner product, namely Î¾Ï =Î·Î¾Î·Ï âξ , Ï in Hilbert space, then H is Hermitian with respect to this new innerproduct. η is not unique, but can be uniquely determined up to an arbitrary multi-plicative constant provided that one chooses an irreducible set of operators with realspectra and require them to be η-pseudo-Hertmitian. We give a detailed discussionof the related mathematical concepts and a proof of the uniqueness theorem for η.Furthermore we show, by explicit calculations, how this theorem applies for quantumsystems with a two-dimensional Hilbert space. In particular, for the latter systems weobtain the general form of a diagonalizable operator H with a real spectrum, calcu-late the most general η that makes it η-pseudo-Hertmitian, determine the form of anyother diagonalizable operator O with a real spectrum that is η-pseudo-Hertmitian,and ï¬nally demonstrate how choosing a particular O that together with H form anirreducible set ï¬x η up to a multiplicative constant.1