Fractional brownian motion in finance from arbitrage point of view

Abstract

Kesirli Brown hareketi, durağan artışlara sahip ortalanmış, özbenzer bir Gausssürecidir. Pek çok disiplinde olduğu gibi finans alanında da model olarak kullanılmasıönerilmiştir. Arbitraj, risk almadan pozitif kazancın garanti edildiği bir alım satımstratejisidir. Adil piyasalarda beklenilen bir olgu değildir. Kesirli Brown hareketi,arbitraja izin vermesine rağmen, hisse senedi fiyatlarındaki uzun süreli bağımlılığımodellemesi sayesinde finans alanında kendine bir yer edinmiştir.Kesirli Brown hareketi temelli hisse senedi fiyatı modelleri için yakın zamanda bulunmuşarbitraj stratejileri ile ilgili sonuçları gözden geçirmekteyiz. Bunlar, hissesenedi fiyat veya logaritması için oluşturulmuş kesirli Bachelier ve kesirli Black-Scholes modelleridir. Arbitrajı önlemek için alım satımda veya modellerde önerilendegişiklikler incelenmiştir. Limitte kesirli Brown hareketine yaklaşan mevcut hissesenedi modelleri de çalışılmıştır.Poisson rastsal ölçüme göre integrallerden oluşan, çok sayıda acentaya dayanan iki hissesenedi modeli kurmaktayız. Bu süreçler, alım satım sıklığının artması ve miktarın küçülmesidurumlarında incelenmektedir. Sonlu boyutlu dağılımlar anlamında, limitte kesirli Brownhareketi elde edilir. Benzer limitlerde sıkça kullanılan zaman ölçeklemesinin kullandığımızbasitleştirilmiş ölçeklemeyle denk olduğunu göstermekteyiz.

Fractional Brownian motion is a centered Gaussian process with stationaryincrements that is stochastically self-similar. It is suggested as a model in variousdisciplines, one of which is finance. Arbitrage is a trading strategy where positiveearning is guaranteed with no risk. It is not expected in fair markets. Despite thefact that fractional Brownian motion allows for arbitrage, it has found a place infinance by capturing the long-range dependence observed in stock prices.We review the results recently obtained for arbitrage strategies when the stockprice process is based on fractional Brownian motion. These are fractional Bachelierand fractional Black-Scholes models for the stock price or its logarithm. The suggestedmodifications in the model or in the trading to avoid arbitrage opportunitiesare analyzed. Existing stock price models which approximate a fractional Brownianmotion in the limit are also studied.We construct two agent based stock price models as integrals with respect to aPoisson random measure. These processes are analyzed as the trading occurs morefrequently and in smaller quantities. Fractional Brownian motion is obtained in thelimit in the sense of finite dimensional distributions. We show that our simplifiedscaling is equivalent to time scaling used frequently for such limits.