Algebraic (etale) fundamental group

Abstract

Bu tez çalışmasının esas konusu etale yapı dönüşümleriyle tanımlanancebirsel temel grupdur. İlk bölümlerde şema kavramına, şemaların temelözelliklerine ve aralarındaki yapı dönüşümlerinin özelliklerine yerverilmiştir. Bilindiği üzere, topolojik temel grup; ?1top (X, ?)bağlı bir X uzayının örtü uzayları yardımıyla datanımlanabilmektedir, şemalar için galois teorisi de bu gerçektenyola çıkarak cebirsel temel grubu; ?1alg (X, ?) , sonlu etale örtüuzayları sayesinde tanımlar. Bu analojiyi kurmak için, topolojik temelgrup kavramına farklı açılardan bakılmıştır.Ayrıca, etale yapı dönüşümlerinin karakteristik özellikleri işlenmiştir.Cebirsel temel grup kavramına geniş bir perspektif'den bakabilmek içingalois kategori belitlerine ve örneklerine yer verilmiştir. Bukategoriler sonlu grupların ters limiti şeklindeki bir grubun süreklietki ettiği sonlu kümeler kategorisine denktir.Son olarak, cebirsel temel grup oluşturulup, Riemann varlık teoremiışığında konu örneklerle aydınlatılmıştır.

This thesis is devoted to a presentation of the étale algebraicfundamental group. In the first chapters, we give the prerequisites forthe theory of schemes and the basic properties of schemes and morphismsto study the galois theory for schemes which classify the finite étalecoverings of a connected scheme X in terms of the fundamental group,?1alg (X, ?) of X precisely in the same way as the finitecoverings of a connected topological space. To emphasize the analogy, weremind the construction of the topological fundamental group fromdifferent aspects.Also we state different characterizations of étaleness. In orderto have a broader sense of the theory, we give an axiomaticcharacterization of the categories we are interested in: galoiscategories, which are equivalent to the categories of finite sets whicha profinite group acts continuously.Finally, we construct the algebraic étale fundamental group andillustrate the concept with some examples with a particular emphasis onthe Riemann existence theorem.