Linearization of stochastic differential equations driven by levy processes

Abstract

Sıçramalı stokastik diferansiyel denklemler, ani rassal değişimleringörüldüğüsistemleri temsil etmeleri nedeniyle fizik, finansve mühendislik alanlarında önemli bir yer tutar. Bu denklemlerinanalitik çözümleriise sadece temeldeki stokastik süreçlerin incelenmesini değil,aynı zamanda sayısal yöntemlerin sınanmasını da sağlamaktadır. Buyüzden doğrusal olmayan stokastik diferansiyel denklemler için analitikçözüm yöntemleri son derece önemlidir.Bu çalışmada, Wiener ve compound Poisson süreçleriyle yani sonluetkinliğesahip Lévy süreçleriyle sürülmüş, tek boyutlu doğrusal olmayan stokastikdiferansiyeldenklemleri ele almaktayız. Doğrusallaştırma ölçütleri ortaya çıkarılıp,denklemleri doğrusallaştırmak için gerekli dönüşümler bulunmuştur. Adidiferansiyel denklemlerde bilinen integrasyon çarpan yöntemi stokastikdiferansiyeldenklemlere uyarlanarak, doğrusal denklemlerin çözümleri eldeedilmektedir.Doğrusallaştırma yöntemimiz, sıçrama terimi içeren Cox-Ingersoll-Rossmodeli, log-ortalamaya çekilen fiyatlama modeli ve geometricOrnstein-Uhlenbeck denklemi gibi çeşitli stokastik diferansiyeldenklemleri çözmek için uygulanmıştır.Bulduğumuz analitik çözümler, sözü geçen denklemlerin Euler ve Maghsoodisayısal yöntemleriyle yaklaştırımlarıyla karşılaştırılmıştır.Çözümlerin beklenen değeri ise Monte Carlo yöntemi ile kestirilmiştir.

Stochastic differential equations with jumps are important in physics,finance and engineering as they represent systems with sudden randomeffects. Analytical solutions of stochastic differential equations not onlyallow us to study the underlying stochastic processes, but also provide themeans to test the numerical schemes. Therefore, analytical methods for theintegration of nonlinear stochastic differential equations are of paramountimportance.We consider linearizing transformations of the one-dimensional nonlinearstochastic differential equations driven by Wiener and compound Poissonprocesses, namely finite activity L/'{e}vy processes. We presentlinearizability criteria and derive the required transformations. Weintroduce a stochastic integrating factor method to solve the linearizedequations and provide closed-form solutions.We apply our method to a number of stochastic differential equationsincluding Cox-Ingersoll-Ross short-term interest rate model, log-meanreverting asset pricing model and geometric Ornstein-Uhlenbeck equation allwith additional jump terms. We use their analytical solutions to evaluatethe accuracy of the numerical approximations obtained from Euler andMaghsoodi discretization schemes. The means of the solutions are estimatedthrough Monte Carlo method.