Geometric measure theory and the double bubble conjecture

Abstract

Bu tezde geometrik ölçü teorisini ve çift kabarcık zanını çalışacağız. Geometrik ölçü teorisini işleyişimiz başlangıç düzeyinde olacak ancak teoriler ve kanıtları detaylı bir şekilde çalışılacaktır. Daha sonra, geometrik ölçü teorisinin bir uygulaması olarak, iki ve üç boyutlu Öklid uzaylarında ki çift kabarcık zanlarını tanıtacağız.Geometrik ölçü teorisi diferansiyel geometrinin, düzgün olmayabilen fonksiyon ve yüzeyler ile uğraşan, bir koludur. Bu alan diferansiyel geometrinin fikirlerini, ölçü teorisini kullanarak, genişletmektedir. Geometrik ölçü teorisinin başlangıç noktasını oluşturan en önemli sorularından biri, Öklid uzayında verilen bir sınıra sahip en düşük alanlı kümeyi bulmak, bu kümenin herhangi bir geometrik özelliği olup olmadığına ve tek olup olmadığına karar vermektir.İki boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanı standart çift kabarcığın verilen iki alanı kaplayan ve ayıran en düşük çeper uzunluğuna sahip tek küme olduğunu öne sürmektedir. İki boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanı J. Foisy, M. Alfaro, J. Brock, N. Hodges ve J. Zimba tarafından beraberce gösterilmiştir. Bu zanın tam kanıtını vereceğiz ve üç boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanının kanıtının taslağını vermeden önce M. Hutchings tarafından kanıtlanan yapı teorisini çalışacağız. Yapı teorisi, standart çift kabarcık haricinde üç boyutlu Öklid uzayında verilen iki hacmi kaplayıp, sınır yüzeyinin alanı en küçük olabilecek tek bir alternatifin olduğunu öne sürmektedir. M. Hutchings, F. Morgan, M. Ritore ve A. Ros, orjinal bir stabilite savı kullanarak, standart çift kabarcık haricinde ki olasılığı yok saymışlar ve böylece standart çift kabarcığın üç boyutlu Öklid uzayında verilen iki hacmi kaplayan ve ayıran minimum yüzey alanlı tek küme olduğunu göstermişlerdir.

In this thesis we will study the geometric measure theory and the double bubble conjecture. Our treatment of the geometric measure theory will be introductory and yet the theorems and proofs will be studied thoroughly. We will then, as an application of the geometric measure theory, present the double bubble conjecture in R2 and the double bubble conjecture in R3.The geometric measure theory is a branch of differential geometry which deals with maps and surfaces that are not necessarily smooth. It extends the notions of differential geometry with the use of measure theory. One of the most important problems of the geometric measure theory, that has served as the starting point of this field, is to find a spanning set of a given boundary in the Euclidean space with the least area and to decide whether this set has any geometric significance and whether it is unique.The double bubble conjecture in R2 asserts that the standard double bubble in R2 is the unique perimeter minimizing enclosure of two given quantities of area in R2. The double bubble conjecture in R2 has been proven jointly by J. Foisy, M. Alfaro, J. Brock, N. Hodges, and J. Zimba. We will give a complete proof of this conjecture and before giving a sketch of the proof of the double bubble conjecture in R3 we will study the structure theorem which has been proven by M. Hutchings. The structure theorem asserts that except for the standard double bubble there is only one hypersurface that may be a candidate for an area minimizing set enclosing two quantities of volume in R3. M. Hutchings, F. Morgan, M. Ritore, and A. Ros, by using an original stability argument, have ruled out the possibility of any minimizer other than the standard double bubble and hence they have showed that the standard double bubble is the unique area minimizing double bubble enclosing and separating two given quantities of volume in R3.