Generalized prime number theorem on semi-groups of integers and the Möbius function

Abstract

Bu çalışmada ilk olarak herhangi bir x reel sayısına kadar olan asallarınsayısı üzerine sonuç veren Asal Sayı Teoremi kanıtlanacaktır. Daha sonraüçüncü bolümde Wiener-Ikehara Tauberian Teoremini kanıtlayıp, bununsonucunda Asal Sayı Teoremini kanıtlamak için Riemann Zeta fonksiyonununRe(s)=1 doğrusu üzerinde hiç sıfırının olmamasının yeterli olacağını göstereceğiz.Dördüncü bolümde, Beurling'in genelleştirilmiş Asal Sayı Teoremini tamsayıların sadeceçarpma altında kapalı olan kümeleri üzerine kanıtlayacağızve bu teoremin sınırlarını araştıracağız. Ayrıca Möbius fonksiyonunun kısmitoplamlarını tamsayıların bu tür alt kümeleri üzerinde düşüneceğiz ve genelleştirilmişAsal Sayı Teoremi ile Möbius fonksiyonunun kısmi toplamlarıarasındaki farkı göstereceğiz. Son bolümde de (bu bölüm danışmanım EmreAlkan ile yaptığımız ortak bir çalışmadır.) bu farklılığa dayalı olarak, aynızamanda tamsayıların sadece çarpma altında kapalı olan bir kümesi ve aritmetikdizi üzerindeki Möbius fonksiyonunun kısmi toplamlarına nicelikselüst sınırlar vereceğiz. Son olarak da, elde ettiğimiz sonuçları kesirlere uygulayacağız.

In this study, we first prove the classical Prime Number Theorem whichgives an estimate on the number of primes not exceeding x where xis a given real number.Then, in the third chapter we prove the Wiener-Ikehara Tauberian Theoremand as a result of this theorem, we deduce the Prime Number Theorem just from the non-vanishingof the Riemann Zeta function on the line Re(s)=1.In chapter four, we prove Beurling's Generalized Prime Number Theoremon semi-groups of integers and we investigate the boundary condition of this theorem.Also, we consider the partial sums of the Mobius function over such semi-groupsand we show the difference between the Generalized Prime Number Theorem andthe partial sums of the Mobius function over semi-groups.Based on this difference, in the last part (which is a joint work withmy supervisor Assoc. Prof. Emre Alkan) we give quantitative estimates on partial sums of theMobius function over semi-groups that are also in a given arithmetic progression.Lastly, we apply our results to the fractions.