Optical characterization of 2D metals and dielectric nano-structures via MoM-based numerical technique, and development of DCIM with spatial error criterion and automatic order selection

Abstract

Bu çalışmanın esas amacı, optik frekanslarda çok katmanlı ortama gömülü iki-boyuttaki yapıların gerçeklemesinive analizini yapmaya yardımcı olabilecek verimli ve doğru bir sayısal yöntem geliştirmektir. Momentler yöntemi(MoM) özellikle katmanlı açık ortamlardaki elektromanyetik problemler için en çok tercih edilen tekniklerdenbiri olduğundan, bu çalışmada temel sayısal yöntem olarak MoM kullanılmıştır. Elektromanyetik ve optikproblemlerde, karışık-potansiyel-integral denklemleri MoM ile çözülürken, integral denklemleri bir takımcebirsel denklemlere dönüştürülür. Bu da; integralin içindeki bilinmeyen fonksiyonu, başında bilinmeyenkatsayılar bulunan bilinen fonksiyonlar (taban fonksiyonları) cinsinden tanımlayarak gerçekleştirilir.Hatırlanmalıdır ki, problemin türevsel denklemlerinin integral denklemlerine dönüşmesi ancak ortamınGreen fonksiyonunu bilerek mümkün olabilir. Green fonksiyon ise basitçe o ortamın noktasal birkaynağa verdiği yanıt olarak tanımlanabilir. Yukarıda belirtilen amaca ulaşmak için aşılması gerekenbir takım önemli sayısal zorluklar bulunmaktadır. Bunlardan ilki ayrık karmaşık imaj yöntemi (DCIM)ile katmanlı-yapı Green fonksiyonlarının, ikincisi ise MoM cebirsel denklemlerinin yani MoM matrisielemanlarının doğru ve verimli bir şekilde hesaplanmasıdır. Bu tezde söz konusu zorluklar doğrubir şekilde tanımlanmış ve çözülmüştür.Bu çalışmanın getirdiği katkılar hakkındaki detaylardan bahsetmeden önce, hatırlanmalıdır kikatmanlı yapılarda MoM'nin performansı uzamsal-bölge katmanlı-yapı Green fonksiyonlarınınverimli bir şekilde hesaplanmasına bağlıdır. DCIM uzamsal-bölge katmanlı-yapı Greenfonksiyonlarının hesaplanmasında bir çok problemi elemiş olsa da, DCIM'ninelektromanyetik ve optik simülasyon programlarında kullanılmasından kaçınılmasınasebep olan iki önemli eksiği bulunmaktadır. Bu problemlerin ilki, çıkan sonucundoğruluğunu gösteren uzamsal alanda tanımlı bir hata ölçütünün yokluğu ve ikinciside en iyi karmaşık imaj sayısını veren otomatik bir algoritmanın bulunmayışıdır.Bu sebeple, tezin ilk iki bölümünde DCIM'nin ortaya atıldığından beri cevapbulunamamış bu iki problemi tartışılmış ve sağlam bir teoriye oturtulmuş kolaygerçeklenebilen verimli yeni bir DCIM sunulmuştur. Sonuç olarak bu gelişmelerleDCIM, sadece Green fonksiyonların hesaplanması değil aynı zamanda FourierLaplace ve Hankel dönüşümlerini de doğru bir şekilde yapmaya hazır hale gelmiştir.İlk cümlede belirtildiği gibi, bu çalışmanın en üst düzeydeki amacı çok katmanlı birortama gömülü iki-boyuttaki yalıtkan ve metal yapıların analizi için verimli, doğruve güvenilir bir sayısal yöntem geliştirmektir. Tezin son bölümünde MoM'yedayalı yeni bir yöntem, boşlukta uzanan iki-boyuttaki yalıtkan ve metal yapılarınanalizi için önerilmektedir. Geliştirilen yöntemin başarısı genel bir MoM matrisielemanı için kapalı-biçimde bir ifade bulunmuş olmasından ileri gelmektedir.Yani herhangi bir integral alma işlemi yapmadan tüm matris elemanları bukapalı-biçimdeki ifadenin hesaplanması ile bulunabilir. Green fonksiyonunkapalı-biçim yaklaşıklamasının her bir terimini, kaynağı karmaşık konumdaolan boşluk Green fonksiyonu olarak düşünürsek, önerdiğimiz yöntemçok katmanlı ortamdaki yapıların analizi için genişletilebilir. Ancak şu ankidurumuyla sayısal olarak verimsiz olduğu görüldüğünden bu kısım gelecekbir araştırma konusu olarak bırakılmıştır.

The main goal in this study is to develop an efficient and accurate numerical techniquethat could help to simulate and analyze two-dimensional nano-structures in multilayeredenvironment in the optical regime. Since the Method of Moments (MoM) hasbeen one of the most widely-used numerical techniques for electromagnetic problemsin layered open environment, it has been employed in this study as the main numericaltool that the development is based on. As the MoM solves mixed-potential integralequations in electromagnetic and optic problems, it translates the integral equationsinto a set of algebraic equations by expanding the unknown functions under the integralsign into a series of known functions with unknown coefficients, referred toas basis functions. It should be remembered that converting governing differentialequations into integral equations requires the knowledge of Green's functions, whichis the response of the medium of interest to a point source. In this endeavor, thereare couple of computational difficulties that need to be overcome, which are mainlyin the computations of Green's functions in multilayered media via Discrete ComplexImage Method (DCIM), and in the computations of the entries of resulting algebraicequations, i.e., MoM matrix entries. In this thesis, primarily these difficulties havebeen addressed properly and their efficient and robust remedies have been proposed,demonstrated and verified.Before providing some more details on the contributions in this thesis, it shouldbe remembered that the performance of the MoM for the problems in layered mediais strongly dependent on the accurate and efficient evaluation of the spatial-domainGreen's functions in layered media. Although the DCIM has eliminated some of themajor bottlenecks in the efficient computation of Green's function in the spatial domain,there still exist two hurdles that render the DCIM not robust and reliable tobe employed in the development of CAD tools for EM and optics simulations, whichare namely the lack of a spatial-domain error metric assuring the accuracy of the endresult and an automatic order selection algorithm finding the optimum number ofcomplex images. Therefore, in the first part of the dissertation, covering the first twochapters, these two remaining issues in the core of the original and improved DCIMshave been discussed, and theoretically sound, easy-to-implement and computationallyefficient novel remedies have been proposed, developed and demonstrated. Asa result of these improvements, the DCIM is now ready to be used, not only in thecalculations of Green's functions but also in the evaluations of Fourier, Laplace andHankel transformations, accurately and reliably in commercial softwares.As it was stated in the opening sentence, the ultimate goal is to develop an efficient,accurate and robust algorithm for the analysis of 2D metal and dielectricnano-structures in multilayered media. In the last part of the dissertation, a novelMoM-based approach has been proposed and developed for the analysis of such structuresin free space. The main power of the developed method is that it provides aclosed-form expression for a generic matrix entry of the MoM, and, without referringto any numerical integration algorithms, all matrix entries can be obtained by a simpleevaluation of the closed-form expression at the location of the point of interest.Although this method can be extended to multilayered environment in a straightforwardmanner by considering each term in the closed-form approximation of theGreen's function as the Green's function in free space with complex source location,this part has been left for the future study because of its numerical inefficiency.