On milnor`s exotic seven spheres

Abstract

1956'da, John Milnor standart, yedi boyutlu, pürüzsüz küre S7'ye homeomorfik olup difeomorfik olmayan, bircok tıkız, pürüzsüz, yedi boyutlu, kenarsız çokkatlı inşa etti. Bundan ötürü kendisine 1962'de Fields Madalyası verildi. Bu çalşmanın amacı, egzotik yedi boyutlu küreler olarak bilinen budüzgün çokkatlıları anlamak. Bu amaçla, ilk bölümde kısa bir giriş yaptıktan sonra, ikinci kısımda `lif demeti` ve `karakteristik sınıf` temel kavramlarıyla ilgili bazı temel gerçekleri tekrar ettik. Üçüncü bölümde pürüzsüz, kapalı, yedi boyutlu bir çokkatlı inşa edip, bu çokkatlının S7'ye homeomorfik olduğunu Reeb'in teoremini kullanarak gösterdik. Türevlenebilir yapısının S7 üzerindeki standart yapıdan farklı olduğunu ise üçüncü bölümün son kısmında açıkladık.

In 1956, John Milnor constructed several examples of a compact smooth seven dimensional manifold without boundary that is homeomorphic but not diffeomorphic to the standard seven dimensional smooth sphere S7, which consequently earned him a Fields Medal in 1962. The aim of this work is to understand these smooth manifolds which are now known as the ?exotic seven spheres?. To this end, after a brief introduction in the first section, we review some basic facts about fiber bundles and characteristic classes in section two. In the third section, we construct a smooth closed seven dimensional manifold and use Reeb's theorem to show that this manifold is homeomorphic to S7. The fact that its smooth structure is different from the standard smooth structure on S7 is explained in the last part of the third section.