Modular forms and Galois representations

Abstract

Bu çalışmada, rasyonel eliptik eğrilerin modüler formlardan geldiğini söyleyen modülerlik teoremini anlamaya çalıştık.İlk olarak modüler formlar, kompleks eliptik eğriler ve modüler eğriler arasındaki ilişkileri inceledik ve modüler eğrilerin kompleks eliptik eğrileri nasıl parametrize ettiğini gösterdik. Daha sonra modüler form uzayına etki eden Hecke operatörlerinitanımladık ve cusp form uzayı için bir baz elde ettik. Ayrıca modüler eğrilerin Jakobiyanlarını kullanarak Hecke operatörlerinin özvektörlerinin Fourier katsayılarının cebirselsayılar olduğunu gösterdik. Sonrasında modüler eğrilerin rasyoneller uzerindeki modelini ve Eichler-Shimura ilişkisini inceledik.Son olarak eliptik eğrilere ve modüler formlara ilişkilendirilen Galois temsillerini inşaettik ve modülerlik teoreminin ispatında kullanılan metodun kısa bir özetini verdik.Ayrıca modülerlik teoremi ve Fermat'ın son teoremi arasındaki ilişkiyi inceledik.

This study aims at explaining the Modularity Theorem which states that every rational elliptic curve arises from modular forms. First we introduce modular forms, complex elliptic curves and modular curves, and study these objects. More precisely, we see how modular curves parametrize the complex elliptic curves and torsion data as solutions of a moduli problem, and there is a correspondence between the functions on the moduli spaces satisfying certain conditions and the modular forms.Then we define the Hecke operators acting on the space of modular forms and using them construct a canonical basis, consisting of newforms, of the space of cusp forms, and give the duality between the Hecke algebra and the space of modular forms. We, then, give the definition of the Jacobian of a modular curve and prove that Fourier coefficients of weight 2 eigenforms of the Hecke operators are algebraic integers and conjugate of a weight 2 normalized eigenform is also a normalized eigenform. Then we define the Abelian variety that comes from a weight 2 eigenform. After that we study the algebraic model of modular curves and give the Eichler-Shimura relation.Finally, we construct the Galois representations attached to an elliptic curve and a normalized eigenform. Then we give a very brief skecth of Wiles?s proof of the Modularity theorem and study the relation between Modularity theorem and Fermat?s last theorem.