Phase models and computations for oscillators

Abstract

Osilatörler, doğal ve mühendislik ürünü birçok sistemin önemli bileşenleri olarak, elektronik ve biyoloji gibi birçok disiplinde, onlarca yıldır bir araştırma odağı haline gelmişlerdir. Otonom osilatörlerin zaman referansı sağlama becerisi ve bağlaşımlı osilatörlerin senkronizasyonu, en iyi şekilde, osilatör fazı olarak adlandırılan bir değer ile betimlenir. Değişikliğe uğratılmış ve bağlaşımlı osilatörler için faz hesaplamaları ve faz dinamiğini ortaya koyan denklemler, elektronik ve biyolojide, salınımlı sistem davranışı ve gürültü gibi istenmeyen olgulardan en az şekilde etkilenen osilatörlerin tasarımı konusunda bir anlayış geliştirilmesini sağlamışlardır.Öncelikle, osilatörler için genelleştirilmiş faz mefhumunu oluşturan isokron kavramını sunuyoruz. Osilatörler için isokron kavramı, 1974 yılında Arthur Winfree tarafından ilk olarak ortaya atılmıştır ve matematiksel biyolojide biyolojik osilatörleri incelemek üzere yoğun şekilde kullanılmıştır. İsokronlar, bir osilatör için genelleştirilmiş faz kavramını geliştirmede kullanılmışlardır ve osilatör sarsım analizi formülasyonlarının temelini oluşturmaktadırlar. Bir osilatörün isokronlarını hesaplamak çok güçtür. Bazı çok basit düzlemsel osilatörler dışında, isokronlar analitik olarak hesaplanamazlar ve bu durumda nümerik teknikler kullanılmak zorundadır. İsokronların hesaplanması için önceden önerilen nümerik metodlar, boyutu ikiden yüksek olan ve bu durumda düzlemsel olmayan osilatörler için tamamen kullanışsız hale gelir. Bu tezde, isokronların lokal fakat karesel yaklaşımlarını hesaplamak için kesin ve dikkatle geliştirilmiş bir teori ile nümerik teknikler sunuyoruz. Bu konuda, önceki yayınlarda isokronların ancak lokal doğrusal yaklaşımlarını hesaplamak için teori ve nümerik metodlar önerilmektedir. Geliştirdiğimiz metodlar geneldir ve yüksek boyuttaki osilatörlere uygulanabilmektedir. Bu tezde ayrıca, isokron hesaplamaları için örnekler sunuyoruz, basit ve analitik bir örnekte yaklaşık sonuçlarımızı kesin değerlerle karşılaştırıyoruz ve karmaşık osilatörlerde metodlarımızı test ediyoruz.Elektronik ve biyoloji disiplinlerinde son 70 yılda osilatör analizi konusunda yapılmış çalışmalardan faydalanarak, otonom osilatörler için faz denklemleri üzerine birleştirici bir teori sunuyoruz. İsokron teorisine dayalı olan genelleştirilmiş faz kavramı temeline bağlı olarak, faz denklemleri için genel bir teori takdim ediyoruz ve birleştirici bir teorinin parçaları halinde, değişikliğe uğratılmış osilatörler için kesin fakat pratik anlamda kullanışsız bir faz denklemi ile isokronların doğrusal (literatürde önceden gösterildiği şekilde) ve karesel (yeni ve daha yüksek doğruluğa sahip) yaklaşımlarına dayalı kullanışlı faz denklemleri çıkarıyoruz. Bu faz denklemlerinin (yarı) analitik faz hesaplamaları için kullanımlarını tartışıyoruz ve nümerik faz hesaplamaları için daha basit ve daha yüksek doğruluğa sahip faz hesaplama yöntemlerini açıklıyoruz. Birkaç örnek üzerinde koşulmuş nümerik hesaplama deneyleri aracılığıyla, açıklanan değişik türdeki faz hesaplama yöntemlerinin ve faz denklemlerinin doğruluklarını karşılaştırıyoruz.Biyokimyasal osilatörler hücrelerde değişik fonksiyonları yerine getirmektedirler. Örneğin, canlıların biyolojik saatlerini belirlemektedirler. Sürekli değerli osilatörler için isokronlara dayalı faz hesaplama teknikleri, gürültü gibi bazı sarsımlardan etkilenen değişik türdeki osilatörlerin davranışlarını karakterize etmek için kullanılmışlardır. Bu tezde, bu faz denklemlerinin ve faz hesaplama düzenlerinin kullanım alanını, ayrık değerli moleküler sistemler olan biyokimyasal osilatörleri içine alacak şekilde genişletiyoruz. Özellikle, ayrık değerli moleküler osilatörler için SSA (Stokastik Simülasyon Algoritması) ile oluşturulmuş örnek yollar üzerinde anlık faz hesaplamaları yapmayı sağlayan teknikleri açıklıyoruz. Moleküler osilatörleri oluşturan mekanizmaların ayrık değerli ve rastgele tabiatından kaynaklanan gürültünün etkileri, bu faz hesaplamaları aracılığıyla karakterize edilebilir.Elektronik ve biyolojide, osilatörlerin modellenmesi ve analizi üzerine çalışmaların, birbirleriyle etkileşime girmeden bağımsız olarak yürütüldükleri anlaşılmaktadır. Osilatör analizi üzerine elektronik alanındaki çalışmalarda isokron kavramından doğrudan yararlanılmamasına rağmen, her iki disiplinde birbirinden tamamıyle farklı terminolojiler ve formülasyonlar kullanılmış olsa da benzer kavramlar, modeller ve sarsım analiz teknikleri geliştirilmiştir. Bu tezde, birbirinden ayrık gözüken bu iki disiplindeki osilatör analizi üzerine yapılan çalışmalardaki bağlantılar da ortaya çıkarılmaktadır.

Oscillators as key components of many natural and engineered systems have been a research focus for decades in many disciplines such as electronics and biology. The time keeping capability of autonomous oscillators and the synchronization of coupled oscillators are best described in terms of a scalar quantity, so-called the phase of an oscillator. Phase computations for perturbed and coupled oscillators and equations that describe phase dynamics have been quite useful in both electronics and biology in forming a rigorous understanding of oscillatory system behavior and designing oscillators that are least affected by undesired disturbances such as noise. We first review the notion of isochrons, which forms the basis for the generalized phase notion for an oscillator that we cover in a rigorous manner. The notion of isochrons for oscillators has been first introduced by Arthur Winfree in 1974 and heavily utilized in mathematical biology in studying biological oscillators. Isochrons were instrumental in introducing a notion of generalized phase for an oscillator and form the basis for oscillator perturbation analysis formulations. Calculating the isochrons of an oscillator is a very difficult task. Except for some very simple planar oscillators, isochrons can not be calculated analytically and one has to resort to numerical techniques. Previously proposed numerical methods for computing isochrons can be regarded as brute-force, which become totally impractical for non-planar oscillators with dimension more than two. In this thesis, we present a precise and carefully developed theory and numerical techniques for computing local but quadratic approximations for isochrons. Previous work offers the theory and the numerical methods needed for computing only local linear approximations. Our treatment is general and applicable to oscillators with large dimension. We present examples for isochron computations, verify our results against exact calculations in a simple analytically calculable case, test our methods on complex oscillators.We next present a unified theory of phase equations for autonomous oscillators through an assimilation of the work that has been done on oscillator analysis in both electronics and biology during the past seventy years. Based on the generalized oscillator phase notion that is founded on the theory of isochrons, we present a general framework for phase equations and derive in a unified manner a phase equation for perturbed oscillators that is exact but practically unusable, and practically useful ones that are based on linear (previously known in the literature) and quadratic (new, more accurate) isochron approximations. We discuss the utility of these phase equations in performing (semi) analytical phase computations and also describe simpler and more accurate schemes for numerical phase computations. Carefully run numerical experiments on several examples are presented which compare the accuracy of the various phase computation schemes and the phase equations described.Biochemical oscillators perform crucial functions in cells, e.g., they set up circadian clocks. Phase computation techniques for continuous oscillators that are based on isochrons have been used for characterizing the behavior of various types of oscillators under the influence of perturbations such as noise. In this thesis, we also extend the applicability of these phase equations and phase computation schemes to biochemical oscillators as discrete, molecular systems. In particular, we describe techniques for computing the instantaneous phase of discrete, molecular oscillators for SSA (Stochastic Simulation Algorithm) generated sample paths. The impact of noise that arises from the discrete and random nature of the mechanisms that make up molecular oscillators can be characterized based on these phase computations. Modeling and analysis studies of oscillators in electronics and biology seem to have progressed independently, without any cross-fertilization in between. Even though work on oscillator analysis in electronics did not directly make use of isochrons, similar concepts, models and perturbation analysis techniques, though using completely different terminology and formulations, have been developed in both disciplines. In this thesis, we reveal the connection between oscillator analysis work in these two seemingly disparate disciplines.