On the modularity of Galois representations

Abstract

Bu çalışmada öncelikle modüler formları tanıtacağız ve vektör uzayı, topolojik uzay olarak sağladığı birtakım temel özelliklerini inceleyeceğiz. Sonra modüler formların oluşturduğu vektör uzayları arasında olan Hecke operatörlerini tanıtacağız. Hecke operatörlerini kullanarak, yeniformlardan oluşan bir baz inşa edeceğiz. Sonra modüler eğrilerin Jacobian'larını ve 2-ağırlıklı yeniformlardan gelen abelyen varyeteleri tanımlayacağız. Son kısımda ise, Galois temsillerini tanıtacağız ve Wiles'in yapmış olduklarının kısa bir özetini vereceğiz.

In this study we will first introduce modular forms and study some properties of these mathematical objects, such as the operators between their spaces called Hecke operators. Using Hecke operators we will construct a basis, consisting of newforms. Then we will give Jacobians of modular curves and define Abelian variety which comes from weight-2 eigenforms. In the last chapter, we introduce Galois representations and we will give a brief skecth of the work done by Wiles.