A universal formula for the j-invariant of the canonical lifting

Abstract

Bu tezde eliptik eğrilerin kanonik uzamalarının j-invaryantları Witt vektörü olarak incelenmiştir. Bu Witt koordinatlarının j-doğrusunun adi noktalar tarafından belirlenen açık afin altkümesinin içinde olduğu ve bu sayede kanonik uzamanın j-invaryantı için evrensel bir formülün varlığı ispatlanmıştır. Ayrıca mükemmel olmayan cisimler üzerinde tanımlı eliptik eğrilerin kanonik uzamaları incelenmiştir ve kanonik uzama kavramı cisimler üzerinde tanımlı olmayan eliptik eğrilere genelleştirilmiştir. Bazı özel j-invaryantlara sahip eliptik eğrilerin kanonik uzamaları da açıkça bulunmuştur.

In this thesis we study the j-invariant of the canonical lifting of an elliptic curve as a Witt vector. It is proved that its Witt coordinates lie in the open affine subset of the j-line determined by the ordinary locus which implies the existence of a universal formula for the j-invariant of the canonical lifting. Canonical lifting of elliptic curves over imperfect fields are also analyzed and the notion of the canonical lifting is generalized for elliptic curves defined over bases which are not necessarily fields. The canonical lifting of the elliptic curves with some specific $j$-invariants are also explicitly computed.