Inverse problems for second order parabolic and hyperbolic equations

Abstract

Matematiksel fizik ve mühendislik sorularının birçoğunu çözerken kısmi diferansiyel denklemler için ters problemler ortaya çıkar. Bir ters problem kısmi difersansiyel denklemin kaynak teriminin veya baz katsayılarının bilinmediği bir problemdir. Böyle bir problemin bilinmeyen çözümünü ve bilinmeyen katsayısını veya kaynak terimini bulmak için ek koşullar sağlanması gerekir. Örneğin bu koşullar tanım bölgesi ve zaman içinde farklı noktalarda sensor (deneysel) veriden çıkan bilinmeyen alanların kısmi bilgilerini içerebilir (örneğin, sıcaklık). Bu çalışmada amacımız ikinci dereceden parabolik ve hiperbolik denklemler için çeşitli ters problemlerin varlık ve teklik sorunlarını incelemektir. Öncelikle ısı denklemlerinde son veriden ilk sıcaklık dağılımının tanımlanması dikkate alınmaktadır. Sonra homojen olmayan ısı denkleminin bilinmeyen kaynak fonksiyonunun tanımlanması problemi incelenmektedir. Son olarak ısı denkleminde ve dalga denkleminde zamana bağlı katsayıların tanımlanmasının ters problemi çalışılmaktadır.

Inverse problems for partial differential equation arise when solving many problems of mathematical physics and engineering. An inverse problem is a problem where a source term or some of coefficients of a partial differential equation modeling the appropriated process is unknown. To find the unknown solution and the unknown coefficient or resource term of such a problem, additional conditions will need to be provided. Such conditions may, for example, include partial information of the unknown fields (e.g., temperature) resulting from sensor(experimental) data at distinct points in the domain and time. In this work, our aim is to study the problem of existence and uniqueness of variousinverse problems for second order parabolic and hyperbolic equations. We firstly consider the determination of the initial temperature distribution of heat equations from thefinal data. We study the problem of identification of the unknown source function of inhomogeneous heat equation. Then we study inverse problems of identification of coefficients in heat equation and wave equation.