Grothendieck`s dessin theory

Abstract

Cebirsel geometri ile kompleks geometri arasındaki Riemann'ın kurduğu köprü şu gözleme dayanmaktadır: Kompakt Riemann yüzeyleri ve tekil olmayan kompleks projektif eğrileri aynıdır. Belyi'nin sayı cisimleri üzerine tanımlanan eğriler ile projektif doğrunun belli örtülerinin varlığı arasında köprü kuran meşhur teoreminden sonra, Grothendieck 1980'lerde, `Equisse d'un programme`'da bu tür örtülerin [0,1] reel aralığının öngörüntüsü ile belirlendiğini açıkladı ve bu öngörütülere dessin d'enfant (çocuk çizimleri ya da kısaca desen) olarak adlandırdı. Belyi göstermişti ki, rasyonel sayı cisminin cebirsel kapanışı üzerine tanımlı her cebirsel eğri, projektif doğrunun en fazla üç noktada dallanmış örtüleri ile temsil edilebilir. Başka bir deyişle, rasyonel sayı cisminin cebirsel kapanışı üzerine tanımlı her cebirsel eğri, içine gömülü bir desen barındırır. Bu tezde `dessin d'enfant` teorisini tanıtacağız. Bir desen n harfli simetri grubundan bir sıralı geçişken permütasyon çifti ile betimlenebilir. PGL(2,Z) grubunun bu çiftler üzerinde bir etkisi vardır, böylelikle desenler üzerinde de bir etkisi vardır. Amacımız henüz incelenmemiş bu etkiyi tanımlamaktır ve incelemektir. Son bölüm bu etkinin kombinatoryel ve aritmetik doğasını anlamaya ayrıldı.

The bridge between algebraic geometry and complex geometry is built by Riemann on the following observation: compact Riemann surfaces and nonsingular complex projective curves can be considered to be same. After the celebrated theorem of Belyi, which is a bridge between curves defined over number fields and the existence of certain coverings of the projective line, Grothendieck launched in the 1980s, in his famous Equisse d'un programme that such coverings is completely determined by the preimage of the real interval [0,1] which is named a (child's drawing) by him. Belyi showed that every algebraic curve defined over algebraic closure of Q can be represented as a covering of the projective line ramified at most three points. In other words, every algebraic curve defined over algebraic closure Q contains an embedded dessin d'enfant. We give an introduction to the theory of dessins d'enfants. A dessin can be regarded as an ordered pair of permutations generating a transitive subgroup of a symmetric group on n letters. The group $/pgl$ has an action on these pairs of permutation, hence on dessins d'enfants. Our aim is to define and study an action of $/pgl$ on dessins which appears to have not been studied until now. The final section is dedicated to investigate combinatorial and arithmetic aspects of this action.