Z2 Topological Insulators and The Quantum Spin Hall Effect on Triangular Lattices

Abstract

Bu tez ̧calı ̧sması u ̈ ̧cgen-sel optik ag ̆lar u ̈stu ̈nde Z2-topolojik yalıtkanlar ve kuantumlu spin Hall etkisi u ̈zerinedir. I ̇lk kısımda ultra-sog ̆uk fermiyonik atomlardan olu ̧san u ̈ ̧cgen-sel optik ag ̆larda Z2-topolojik yalıtkanların bi-kroma-tik deformasyonlarının etkisine bakılmı ̧stır. Bunun i ̧cin B.Beri ve N.R.Cooper[Phys.Rev.Lett.,107,145301 (2011)] tarafından o ̈nerilen sistem bir bi-kromatik optikag ̆a genellenmi ̧stir. Sistemin yalıtkan ac ̧ıklı ̆gının bu ̈yu ̈k olması, bu ̈yu ̈k pertu ̈rbasyonlara bakılmasını olanaklı kılmaktadır. Hesaplar neredeyse serbest elektron limitinde yapılmı ̧stır. Sistemin Z2-topolojik karakterinin, genel tersin-me simetrisini bozan fakat zaman- tersinme simetrisine sahip bu ̈yu ̈k global pertu ̈rbasyonlarla kaybolmayaca ̆gı sonucuna varılmı ̧stır.I ̇kinci kısımda aynı sistem sıkı ba ̆g limitinde incelenmekte ve enerji band yapısı ile durum yog ̆unlu ̆gunun sıkı bag ̆ ve serbest elektron limitleri kar ̧sıla ̧stırıl-maktadır.Son kısımda yine u ̈ ̧cgen-sel optik a ̆glarda kuantumlu spin Hall sistemlerinin bir sıkı bag ̆ modeli o ̈nerilmektedir. O ̈nerdig ̆imiz Hamilton operato ̈ru ̈nu ̈n 1/4 birimlik manyetik akıya kar ̧sı gelip zamanda-periyodik bir a ̆g ̧calkantısı yoluyla realize edilebileceg ̆i go ̈sterilmektedir. Z2-topolojik yalıtkanlarının belirgin niteliklerinden olan band ac ̧ıklı ̆gını a ̧sabilen durumların varlı ̆gı, hesap-lanan kenar durum spektrumunda go ̈sterilmektedir.

In this thesis we study Z2 topological insulators and quantum spin Hall effect on triangular optical lattices. In the first part we examine the effect of a strong bichromatic deformation to the Z2 topological insulator in a fermionic ultracold atomic system on triangular lattices. We modify a system proposed by B. Beri and N. R. Cooper, Phys. Rev. Lett. 107, 145301 (2011) to a bichromatic optical lattice. Large insulating gap of this system allows for examination of strong perturbations. The calculations are done in the nearly free electron limit. We conclude that the Z2 topological character of the system is robust against large global perturbations that break the inversion symmetry but preserve the time-reversal symmetry. In the second part, we study the tight binding regime of the same system and compare the band structures and density of states of nearly free electron and tight binding limits.In the final part, we also propose a tight binding model for the quantum spin Hall system on triangular optical lattices. We show that the proposed Hamiltonian corresponding to 1/4 magnetic field flux unit can be realised by a time-periodic driving-like lattice shaking. We determine the edge state spectrum which contains gap traversing states as the hallmark of a Z2 topological insulator.