The dedekind zeta function and the analytic class number formula

Abstract

Bu çalışmada ilk olarak sayı cisimleri ve bu sayı cisimlerinin cebirsel tamsayı halkalarına değineceğiz. Herhangi bir sayı cisminin cebirsel tamsayılar halkasının tamsayıca kapalı bir Noether halkası olduğunu ve asal ile maksimal ideallarinin örtüştüğünü göstereceğiz. Bu halkayı detaylıca çalışmak için geometrik bir metod kullanacağız. Böylelikle, bu sayı cisminin ideal sınıf grubunun sonlu olduğunu göstereceğiz. Ek olarak, geometrik yöntemler ile herhangi bir cebirsel tamsayılar halkasının tersinir elemanlarını karakterize edeceğiz. Sonrasında ise, sayı cisimleri için karmaşık sayılar üzerinde tanımlı Dedekind zeta fonksiyonunu tanımlayıp bu fonksiyonun $1$ noktasında basit bir kutbu olduğunu göstereceğiz. Dahası, fonksiyonun bu noktadaki kalıntısının ilgili sayı cisminin değişmezleri tarafından verildiğini göreceğiz. Son olarak, sayı cisimlerinin ideal sınıf sayısının farklı yollarla hesaplama yollarından bahsedeceğiz.

In this thesis, we first introduce number fields and their rings of integers. We show that the ring of integers of a number field is an integrally closed, Noetherian ring such that its prime and maximal ideals coincide. Namely, it is a Dedekind domain. To study the ring of integers of a number field in details, we present a geometric approach so that the number field is embedded inside a finite dimensional real vector space. By doing so, we show that the class number of the number field is finite. In addition, we characterize the group of units of $/mathcal{O}_K$ via geometric methods. After that, we define the Dedekind zeta function of a number field. It is a generalization of the Riemann zeta function. Moreover, we present the Analytic Class Number Formula, which states that the Dedekind zeta function converges for any complex number with real part greater than 1 and has a simple pole at the point 1. Its residue at the point 1 is given by invariants of the number field. Lastly, we present various arguments to evaluate the class number of various number fields.