Konveks ve yıldızıllık kavramından hareketle tanımlanan fonksiyon sınıfları

Abstract

ÖZET Bu tezde, konveks ve yıldızı İlık kavr anandan hareketle tanımlanan fonksiyon sınıflarını araştırdık. Birinci bölümde, D = -{z: zj < 1 } olmak üzere D' de analitik ve yalınkat, f<0> = f ' (O) -1=0 koşulları ile normalize edilmiş fonksiyonların sınıfı olan S ve onun alt sınıfları olan konveks ve yıldızıl fonksiyon sınıflarının temel özelliklerini verdik. İkinci bölümde, konveks ve yıldızıllık kavramından hareketle tanımlanan fonksiyon sınıflarını tarihsel bir gelişim içerisinde inceleyerek, sınıflar arasındaki bağıntıları, katsayı hesaplamalarını, gösteriliş teoremlerini, ayrıntılı bir biçimde ele aldık. Bazı fonksiyon sınıflarında ise, yalnızca sınıfın tanımını ve yalınkat olduğunu göstererek diğer özelliklerin okuyucu tarafından önceki sınıf 1 ardaki ne benzer şekilde hesaplamalarla elde edebileceğini düşündük ve okuyucu açısından yararlı olacağı amacıyla bazı teoremleri ispatsız verdik. Üçüncü bölümde, konveks ve yıldızıl fonksiyonlarla indirekt olarak ilgili fonksiyon sınıflarını inceledik. Dördüncü bölümde, harmoni k yalınkat fonksiyonlar sınıfını tanıttık ve bu sınıfın bazı alt sınıflarından söz ettik. Bu sınıfta çalışmanın, S sınıfında çalışmaktan daha güç olduğunu ve bir çok açık problemin bulunduğunu belirttik. Bu konuda çalışan kimselere faydalı olmak amacıyla sınıfların incelenmesinde gerekli hesaplamaları yaptık ve buna karşılık okuyucuyu konuya çekmek için bazı teoremlerin ispatları yerine referanslarını vererek araştırmalarında yardımcı olmayı amaçladık. Ayrıca bu tezin konusu olan sınıflar hakkında en son ve en yeni çalışmaları mümkün olduğu ölçüde gözden geçirerek referanslara, dahil ettik. iv

THE CLASS OF FUNCTIONS DEFINED BY MEANS OF THE CONCEPTS OF CONVEXITY AND STARLIKENESS SUMMARY In this thesis» we study the class of functions that are defined by means of the concepts of convexity and star-likeness. In the first chapter, we give the main properties of the classes S, convex and starlike functions. Here, S denotes the set of functions f, that are analytic, univalent in D = { z: z< 1 }. and normalized by f<0) = f ' <0> -1=0. The classes of convex and starlike functions are the set of functions f in S whose images are convex and starlike, respectively. In the second chapter, we study the function classes defined by means of the concepts of convexity and starlikeness in a chronological order and give some representation theorems, some coefficient estimates, and we investigate the relation between the classes in detail. In some function classes, we only give the definitions of the classes and show that the functions in the class are univalent, because the other properties can be obtained from similar calculations that appear in preceeding classes. In the third chapter, we investigate the function classes related indirectly to convex and starlike functions. In the fourth chapter, the class of harmonic univalent functions are introduced and some subclasses of this class are mentioned. It turns out that the problems are more difficult in this class than the problems on the class S, because we do not have the tools of analytic functions. We end this chapter by vmentioning some open problems in the class of harmonic univalent, functions. On one hand, to help readers studying on this field, we give the necessary calculations which transforms the defining geometric properties of the classes into analytic conditions. On the other hand, to influence readers first and then to be helpfull on their research we give a broad list of references in which the proofs of theorems can be, found. VI