Özgün veri modelleme yöntemleri : Empedans ve saçılma parametreli yaklaşımlar

Abstract

6. ÖZET Bu çalışmada frekans dömeninde sayısal olarak verilmiş pozitif reel bir empedansa ait verilere, pasif elemanlarla gerçekleştirilebilecek bir empedans modelinin sistematik olarak bulunması işlemi gerçekleştirilmeye çalışılmıştır. Bu amaçla üç yöntem geliştirilmiştir. EMPEDANS PARAMETRELİ YAKLAŞIM: İlk yöntemimiz olan Empedans Parametreli Yaklaşım, bir ölçüm sonucu elde edilen verilerin bir giriş empedansına ait olduğunu kabul ederek bu empedansı elde etmeye çalışır. Bunu gerçekleştirebilmek için öne sürdüğümüz teorem: Teorem; Herhengi bir emedans minimum reaktans fonksiyonu ve foster fonksiyonu olarak iki empedansın toplamı olarak yazılabilir. İsbat; Herhangi bir fiziksel devreye ait empedans pozitif reel olmalıdır. Bunun anlamı ise empedans fonksiyonunun kutuplan j© ekseninin üzerinde veya sol tarafinda olabilir. Minimum reaktasn fonksiyonunun özelliği bütün kutuplarının jco ekseninin sol tarafinda olmasıdır. Foster fonksiyonunun özelliği de bütün kutuplannm s=3eo ekseninin üzerinde olmasıdır. Buna göre empedans fonksiyonu çarpanlarına ayrılır, sol yarıda olan kutuplar birleştirilerek minimum reaktans fonksiyonu, jco 'dairi kutuplar da birleştirilerek foster fonksiyonu oluşturulur. Minimum reaktans fonksiyonunun özelliği, reel kısmının hiçbir zaman negatif olmaması ve reel veya sanal kısımlarından birisi kullanılarak fonksiyonun tamamının elde edilebilmesidir. Foster fonksiyonunun özelliği ise s=^ja> için reel kısmının sıfir olmasıdır. Verilen herhangi bir empedansın reel kısmı, foster fonksiyonunun reel kısmı olmadığından yalnızca minimum reaktans fonksiyonun reel kısmından oluşur. Ölçme sonucu elde edilen veriler reel-sanal olarak aynhrsa, reel kısımları kullanılarak minimum reaktans fonksiyonu elde edilebilir. Bu amaçla, reel kısım verilerine hiçbir zaman negatif olmayan(kutuplan tek katlı ve sol yan düzlemde) bir fonksiyon uydurulur, Gewertz prosedürü yardımıyla reel kısmından minimum reaktans fonksiyonu elde edilir. Daha sonra bu minimum reaktans fonksiyonunun sanal kısmı elde edilerek verilen sanal kısım verilerinden çıkatnlır ve foster fonksiyonuna ait veriler elde edilir. Bu foster verilerine de bir foster fonksiyonu uydurulur. Böylece verilen empedans verileri analitik olarak üretilmiş bir minimum reaktans fonksiyonu ile bir foster fonksiyonunun toplamı olarak elde edilir. Elde edilen empedans bir kapılı kayıplı bir devrenin giriş empedansıdır. SAÇILMA PARAMETRELİ YAKLAŞIM: Bu yöntemde üri kapılı devre saçılma parametreleri ile tanımlanmıştır. Fiziksel bir devreden ölçülen saçılma parametreleri sınırlı reeldir. O halde modelleme sonucu elde edilecek saçılma parametreleri de sınırlı reel olmalıdır. Saçılma parametreleri Belevitch gösterimindeki h(s), f(s) ve 50g(s) polinomları ile ifâde edilebilir. Buradaki g(s) polinomu, h(s) ve f(s) polinomimdan kayıpsızlık koşulunu ( g(s)g(-s)= h(s)h(-s)+-f(s)f(-s) ) kullanarak kesin Hurwitz olacak şekilde üretildiği zaman, elde edilen saçılma parametreleri sınırlı reeldir. Bu yöntemin temeli giriş yansıma katsayısına ait verilerden, /C1 direnç ile sonlandırümış iki kapılı devrenin Sn giriş yansıma katsayısını, h(s) ve f(s) polinomlannı kullanarak üretmektir. Bu amaçla h(s) ve f(s) giriş yansıma katsayısı için bilinmeyen olarak seçilir, giriş yansıma katsayısı Sn 'i optimize etmek için değeri yeniden hesaplanır. Bunu yaparken de giriş yansıma katsayısına ait veriler reel-sanal olarak yazılır. 1. h(s) ve f(s) için başlangıç değerleri belirlenir. 2. h(s) ve f(s) polinomlannm katsayılarında değişikilik yapılır. 3. Bunlardan g(s) hesapların:. ( Kayıpsızlık denkleminin sağ tarafi biliniyor, oluşan g(s)g(-s) denkeminin sol yandaki köklerinden g(s) oluşturulur.) 4. Su=h(s)/g(s) elde edilir. 5. Sn ile veriler karşılaştırılarak hatanm değeişimine göre katsayılardaki değişimin yönü belirlenir. 6. Yeni h(s) ve f(s) değerleri ile işlemi tekrarlamak için adım 2'ye dönülür. Bu işlem sonucunda elde edilen h(s), f(s)ve g(s) polinomlanndan iki kapıh devrenin saçılma parametreleri oluşturulur. SAÇILMA PARAMETRELİ YAKLAŞIM İLE SİMETRİK MODELLEME: Bu yöntem saçılma parametreli yaklaşımda SuHS» olması durumu için elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlara göre modelleme sonucunda devrenin simetrik olması için h(s) polinomu tek ve f(s) polinomu da çift olmalıdır. Bütün modelleme işlemleri aynen saçılma parametreli yaklaşımda olduğu gibidir. 51

SUMMARY: `NOVEL METHODS IN DATA MODELLING: IMPEDANCE AND SCATTERING PARAMETER APPROACH` In this work, for the numeric frequency domain data belonging to a positive real impedance, a systematic way of finding a model that could be realised with passive elements is tried to be found. For this purpose three methods are developed. IMPEDANCE PARAMETER APPROACH: The first method - impedance parameter approach - tries to find the input impedance by assuming that data obtained as a result of measuring belong to this input impedance. The theorem for this is: - Theorem: Any impedance can be stated as a sum of minimum reactance function and a foster function - Proof: Impedance belonging to any physical realisable network must be positive real. What this means is that the poles of impedance function can be on jco axis or on the left half plane. The important characteristic of minimum reactance function is that all its poles lie on the left half plane whereas the poles of foster function lie on joa axis. According to what is said, the impedance function is factored and then the minimum reactance function is obtained by combining the poles of the left half plane and the foster function is formed by combining the poles on jco axis. The characteristic of the minimum reactance function is that its real part is non-negative and it can be fully obtained from either real or imaginary part. Property of the foster function is that its real part for s=jco is zero. The real part of any given impedance consist only of the real part of the minimum reactance function since the real part of foster function is zero. If the data obtained from measurement are classified as real and imaginary, minimum reactance function can be obtained by using the real parts of data. For this purpose a function which is non-negative and whose poles simple and located on the left half plane is fitted to real part data and minimum reactance function is obtained from the real part by Gewertz procedure. After that, imaginary part of minimum reactance function is obtained and subtracted from the imaginary part data and then the data of foster function is obtained. A foster function is also fitted to these foster data. As a result, impedance data is formed as a sum of analytically generated minimum reactance function and foster function. The impedance obtained is the input impedance of a 1-port lossy network. 52SCATTERING PARAMETER APPROACH: In this method, 2-port network is described in terms of its scattering parameters. Scattering parameters measured from a physical network is bounded real. Therefore, scattering parameters obtained as a result of modelling should also be bounded real. Scattering parameters can be described by means of h(s) f(s) and g(s) polynomials in the Belevitch representation. The scattering parameters are bounded real when g(s) polynomial is generated from h(s) and f(s) using losslessness condition (g(s)g(-s)= h(s)h(-s)+f(s)f(-s) ) so that g(s) is strictly Hurwitz. The crux of the method is to produce Sn reflection coefficient of lossless two-port network in unit termination from the data of input reflection coefficient by using h(s) and f(s) polynomials. For this purpose, h(s) and f(s) are selected as unknowns for input reflection coefficient and value of this unknown are calculated in order to optimise input reflection coefficient Sn- When doing this, the data that belong to input reflection coefficient is stated in terms of its real and imaginary parts. 1. Initial values for h(s) and f(s) polynomials are determined. 2. Changes are made in the coefficients of h(s) and f(s) polynomials. 3. g(s) is calculated from h(s) and f(s) polynomials. (Right hand side of losslessness equation is known, g(s) is formed considering the roots of g(s)g(-s) located in the left half plane.) 4. Sn=h(s)/g(s) is obtained. 5. The direction of the change in coefficient according to change in error is determined by comparing Sn with data. 6. In order to repeat the calculation with new values of h(s) and fts), go back to step 2. Scattering parameters of the two port network are obtained from the polynomials h(s), f(s) and g(s) obtained in the steps given above. SYMMETRIC MODELLING VIA SCATTERING PARAMETER APPROACH: Symmetric modelling is obtained by setting Sir^ in the scattering parameter approach. In the symmetric networks, h(s) must be odd and ft» must be even polynomial. In this method the - process is exactly same as the process carried out in scattering parameter approach 53