Takribi hermityen manifoldlarda sabitlik için bazı kriterler

Abstract

Bu tez çalışmasının amacı, takribi Hermityen manifoldların bazı alt sınıflarının çeşitli eğriliklerini (kesitsel eğriliğini, holomorfik kesitsel eğriliğini v.b.) incelemektir. Biz genellikle ele aldığımız eğriliklerin sabitliği için bazı kriterler vereceğiz.Bu çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez boyunca üzerinde çalışılacak olan kavramlar hakkındaki tarihçeye yer verilmiştir.İkinci bölüm, onsekiz alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde Riemanniyen manifoldlarla ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Bir Riemanniyen manifoldun geometrisini incelemeye yarayan Riemanniyen koneksiyonu, eğrilik tensörü, kesitsel eğrilik gibi temel araçlar da bu bölümde verilmiştir. İkinci alt bölümde Riemanniyen alt manifoldlar ve bunların geometrisini incelemeye yarayan Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri sunulmuştur. Tez boyunca üzerinde çalışacağımız takribi Hermityen manifoldlarla ilgili temel tanım ve teoremler üçüncü alt bölümde ve bazı sınıfları dördüncü alt bölümde yer almıştır. İyi bilinen bir takribi Hermityen manifold sınıfı olan Kähleriyan manifoldlar beşinci alt bölümde ve tez boyunca kullanacağımız takribi Hermityen manifoldların bazı alt manifoldları altıncı alt bölümde verilmiştir. Yedinci alt bölümde r-düzlemler aksiyomu ve sekizinci alt bölümde r-küreler aksiyomu sunulmuştur. Holomorfik 2-düzlemler aksiyomu dokuzuncu alt bölümde ve holomorfik 2-küreler aksiyomu onuncu alt bölümde yer almıştır. Ters-holomorfik 2-düzlemler aksiyomu onbirinci alt bölümde ve ters-holomorfik 2-küreler aksiyomu onikinci alt bölümde verilmiştir. Onüçüncü alt bölümde holomorfik 2r-düzlemler (2r-küreler) aksiyomu ve ondördüncü alt bölümde ters-holomorfik r-düzlemler aksiyomu yer almaktadır. -holomorfik 2-düzlemler (2-küreler) aksiyomu onbeşinci alt bölümde ve ko-holomorfik 3-küreler aksiyomu onaltıncı alt bölümde verilmiştir. Son olarak ko-holomorfik (2r+1)-küreler aksiyomu onyedinci alt bölümde ve hemi eğik 3-küreler aksiyomu onsekizinci alt bölümde verilmiştir.Üçüncü bölüm, tez boyunca faydalanılan araçlardan ve uygulanan yöntemlerden oluşmaktadır.Dördüncü bölüm tezimizin esas kısmını oluşturur. Bu bölümde daha önce verilen bazı teoremlerin alternatif kanıtları, bazılarının ise genelleştirmeleri verilmiştir. Ayrıca konunun anlaşılmasını kolaylaştıran örnekler de bu bölümde verilmiştir.Beşinci bölümde çalışmanın genel bir değerlendirmesi yapılmaktadır.

The main aim here is researching the various curvatures (sectional, holomorphic sectional etc.) belong to submanifolds of almost Hermitian manifolds. We will give some criterions for constancy of the curvatures that we usually use.This study consists of five main chapters. In the first chapter, the history of studied concepts takes a part. The second chapter consists of eighteen subchapter. In the first subchapter, we give the fundamental definitions and theorems of Riemannian manifolds. We also define the basic tools like Riemannian connection, curvature tensor, sectional curvature etc. in this subchapter to analyse the geometry of a Riemannian manifold. In the second subchapter, we present the Gauss, Codazzi and Ricci equations to analyse the Riemannian submanifolds and the geometry of them. In the third subchapter, we study the fundamental definitions and theorems under almost Hermitian manifolds. We mention some of their classes in the fourth subchapter. The well known almost Hermitian manifold classes, Kählerian manifold takes a part in the fifth subchapter. The some of submanifolds of almost Hermitian manifolds we use in this thesis is will use in the thesis, appear in the sixth subchapter. The eight subchapter includes the axiom of r-planes and the seventh subchapter the axiom of r-spheres. The nineth subchapter contains the axiom of holomorphic 2-planes, with the tenth subchapter we submit the axiom of holomorphic 2-spheres. The axiom of anti-invariant 2-planes appears in the eleventh subchapter and the axiom of anti-invariant 2-spheres are in the twelfth subchapter. We present the axiom of holomorphic 2r-planes (2r-spheres) in the thirteenth subchapter and the axiom of anti-invariant r-planes in the fourteenth subchapter. The fifteenth subchapter contains the axiom of -holomorphic 2-planes (2-spheres) and the sixteenth subchapter contains the axiom of coholomorphic 3-spheres. Finally, we explain the axiom of holomorphic (2r+1)-spheres in the seventeenth subchapter and the axiom of hemi-slant 3-spheres in the eighteenth.In the third chapter, we describe the the tools and applied methods we use through this thesis.The fourth chapter is essential part of our thesis. In this chapter, we clarify the alternative proofs and also generalizations we have given within thesis . Furthermore we give some examples to make the topic more understandable.In the fifth chapter, we review the study.