Kısmi-eğik altmanifoldların geometrisi

Abstract

Bu tez çalışmasını amacı, kısmi-eğik altmanifoldların geometrisini incelemektir. Biz bu çalışmada yerel konformal Kähler manifoldların kısmi-eğik altmanifoldlarına odaklanacağız.Bu çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez boyunca üzerinde çalışacağımız konuların temeli sayılan çalışmalar verilmiştir.İkinci bölüm, dört alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde diferansiyellenebilir manifoldların geometrisinin temel tanım ve kavramları verilmektedir. Bu bölümde manifold kavramı, bir manifoldun teğet ve ko-teğet uzayı tanıtılmakta ve bunun yanısıra manifoldlar arasında tanımlanan fonksiyonlar ile ilgili özellikler sunulmakta ve manifold teorisini çalışmada temel oluşturan altdaldırma, üstdaldırma, türev dönüşüm gibi fonksiyonlar verilmektedir. Ayrıca manifold üzerinde lineer koneksiyon tanımlanmakta ve manifold üzerinde tensör alanı, tensör türevi gibi kavramlardan bahsedilmektedir. İkinci alt bölümde Riemanniyen manifold kavramı ile bu manifold üzerinde tanımlanan Riemanniyen koneksiyon, eğrilik tensörü, kesitsel eğrilik gibi kavramlardan bahsedilip, Riemanniyen geometrinin en temel teoremlerinden biri verilmektedir. Ayrıca Riemanniyen altmanifold kavramı ve bunların geometrisini incelemeye yarayan Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri sunulmuştur. Üçüncü altbölümde Kähleriyen manifold kavramı ve bu manifoldun temel özellikleri verilmektedir. Kähler manifoldların holomorfik, ters-değişmez ve eğik altmanifoldları gibi altmanifold sınıfları tanıtılmaktadır. Bunun yanısıra Şahin tarafından yapılan çalışma aracılığıyla bir Kähler manifoldun kısmi-eğik altmanifoldları karakterize etmeye yarayan teoremler sunulmaktadır. Dördüncü alt bölümde yerel konformal Kähler manifoldun temel tanım ve teoremleri ve bu manifold tipine örnekler verilmektedir.Üçüncü bölümde, tez boyunca faydalanılan araçlardan ve uygulanan yöntemlerden oluşmaktadır.Dördüncü bölüm tezimizin esas kısmını oluşturur. Bu bölümde bir yerel konformal Kähler manifoldun kısmi-eğik altmanifoldları çalışılmıştır. Kısmi-eğik altmanifoldların tanımında içerilen ters-değişmez ve eğik dağılımların integrallenebilirliği için koşullar verilmiştir. Aynı zamanda bu dağılımların tümel-jeodezik yapraklanma tanımlaması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir. Bölüm paralel standart yapılı kısmi-eğik altmanifoldlar için verilen bazı sonuçlar ile bitmektedir.Beşinci bölümde ise çalışmanın genel bir değerlendirmesi yapılmaktadır.

The main aim here is researching the geometry of hemi-slant submanifolds. In this studying we focus on hemi-slant submanifolds of a locally conformal Kähler manifold.This study consists of five main chapters. In the first chapter, the studies that regarded as the basis of the issues we work throughout the thesis are given.The second chapter consists of four subsections. In the first subsection, we give basic definitions and notions of differentiable manifolds. In this section we introduce definition of a manifold, tangent and co-tangent space. Beside this we present some properties of functions that are defined between manifolds and we give the definitions of inmersion, submersion and differential map which are base of studying the manifold theory. Also, we give definition of linear connection, tensor field , differential of a tensor on a manifold. In the second subsection, we present the definition of Riemannian manifold and notions of Riemannian connection, curvature tensor, sectional curvature etc. Beside this we give one of fundamental theorem of Riemannian geomety. Also, we present the Gauss, Codazzi and Ricci equations to analyse the Riemannian submanifolds and the geometry of them. In the third subsection, we give definition of Kähler manifold and some properties of it. We introduce holomorfic, anti-invariant and slant submanifolds of a Kähler manifold. Also, with the help of study of Şahin, we give some theorems to characterize hemi slant submanifolds of a Kähler manifold. In the fourth subchapter we give basic definitions, theorems and examples of a locally conformal Kähler manifold.In the third chapter, we describe the tools and applied methods we use through this thesis.The fourth chapter is essential part of our thesis.In this section we study hemi-slant submanifolds of a locally conformal Kähler manifold. We give conditions for the integrability of anti-invariant and slant distributions which are involved in the definition of hemi-slant submanifolds. We also get necessary and sufficient conditions for these distributions to define totally geodesic foliations. The section ends with some results for hemi-slant submanifolds with parallel canonical structures.In the fifth chapter, we rewiew the study.