On designs derived from codes

Abstract

Bu tezde, kodlar, kombinatoryal tasarımlar ve kodlar ile kombinatoryal tasarımlar arasındaki ilişkiler çalışılmaktadır. Mathematica'da boyutu ve uzunluğu, sırayla, 14 ve 15'e kadar olan bütün lineer kodları listeleyen ve bu kodlar içinde 1-tasarım oluşturan kodsözcüklerinin ağırlıklarını bulan bir program hazırlanmıştır. Bu programdan alınan veriler kullanılarak, 1-tasarımlarla ilgili bazı genel sonuçlar ve ispatları verilmektedir. Bu tezin ilk bölümünde Kodlama Teorisi ve Kombinatoryal Tasarım Teorisi ile ilgili temel tanımlar ve bu teorilerin tarihsel gelişimleri verilmektedir. İkinci bölümün ilk kısmında kodlama teorisindeki temel terminolojiler tanıtılıp kodlarla ilgili örnekler ve temel teoremler de verilmektedir. İkinci kısımda, kombinatoryal tasarımlar tanıtılıp örnekler verilmektedir ve bir kombinatoryal tasarımın cebirsel gösterimi verilmektedir. Üçüncü kısımda kodlar ve kombinatoryal tasarımlar arasındaki ilişkilerden bahsedilmektedir, sonra iyi bilinen Fano düzlemi örnek olarak verilmektedir. Yine bu kısımda Assmus-Mattson teoremleri tanıtılmaktadır. Üçüncü bölümün ilk kısmında, boyutu ve uzunluğu sırasıyla 14 ve 15'e kadar olan değerler için programımızdan elde edilen sayısal sonuçlar tablolar halinde verilmektedir. İkinci kısımda 'tasarım gömülü kodlar' tanıtılmaktadırr. Bu kısımda küçük uzunluk ve boyut için linear tasarım gömülü kodları ve 1-tasarım oluşturan kodsözcüklerin ağırlıklarını listeleyen programımızdan alınan verilere göre belirlenen genel sonuçlar ve bunların ispatları verilmektedir.

In this thesis, we study codes, combinatorial designs and the relations between codes and combinatorial designs. On Mathematica, we write a program which lists all linear codes of dimension and length up to 14 and 15, respectively, and finds the weigths of all codewords forming 1-designs in these codes. By using the data obtained from the program, we present some general results and their proofs about 1-designs.In the first chapter of this thesis, we present the fundamental definitions in Coding Theory and Combinatorial Design Theory and also their historical backgrounds. In the first section of the second chapter, we introduce basic terminologies in coding theory, and present examples and also fundamental facts on codes. In the second section, we introduce combinatorial designs, present examples and the algebraic representation of a combinatorial design. In the third section, we establish the connections between codes and combinatorial designs, then we give the well-known Fano Plane as an example. Moreover, in this section, we introduce Assmus-Mattson Theorems. In the first section of the third chapter we give the numerical results obtained from our program in tables for the values of the dimension and the length up to 14 and 15, respectively. In the second section, we introduce 'design embedded codes'. In this section, we present general results that we infer from our program, which lists all linear 1-design embedded codes and the weights of all codewords forming 1-designs in these codes, for small values of length and dimension and the proofs of these results.