Olasılıksal metrik uzaylarda bazı topolojik özellikler

Abstract

Bu tez boyunca, sayılardan ziyade dağılım fonksiyonları tarafından belirlenen noktalar arasındaki uzaklığı esas alan genelleştirilmiş metrik uzaylardan biri ile çalışacağız.Dağılım fonksiyonları uzayı tanımı verildikten sonra, bu uzay üzerindeki Lévy metriği ve zayıf yakınsaklık topoloji arasındaki bağlantıyı araştırıyoruz.Daha sonra, dağılım fonksiyonları uzayının alt uzayına odaklanacağız. Bu uzay, destek kümesi genişletilmiş pozitif reel sayılar içinde, [0,+∞], olan bütün dağılım fonksiyonlarının uzayıdır. Daha sonra, bu alt uzayın maksimal ve minimal elemanları olan bir tam kafes olduğunun ispatını vereceğiz.Son olarak, bazı temel tanım ve terminolojiyi verdikten sonra olasılıksal metrik uzay tanımını vereceğiz. Daha sonra, olasılıksal metrik uzay üzerinde, bir düzgünlük tarafından belirlenen topolojiyi inceleyeceğiz ve bu topolojinin metriklenebilir olduğunun ispatını vereceğiz. Verdiğimiz ispatlar kaynaklardaki ispatlardan farklı olacaktır.

In this thesis, we study one of the generalizations of metric spaces, in which the distance between points are specified by probability distributions rather than numbers.After giving the definitions of distribution function space, Lévy metric and the natural topological structure on it, namely, the topology of weak convergence, we study the connection among them.Next, we focus on a subspace of distribution function space. This is the space of all distribution functions whose supports lies in the extended half line [0,+∞]. Then, we present some different proofs of the fact that this subspace is a complete lattice with maximal and minimal elements.Finally, we present probabilistic metric space after giving some basic definitions and terminology. Then, we investigate the natural topology on a probabilistic metric space determined by a uniformity and give some different proofs of the fact that this topology is metrizable.