Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ile ilgili teoremler

Abstract

Bu tez çalışmasında, sağ-tarafı süreksiz adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchyproblemi ile ilgilenilmektedir. Bu problemin genelleştirilmiş anlamda çözümünün varlıkve tekliği ile ilgili teoremler ifade edilerek ispatlanmaktadır. Özel olarak Lipschitzkoşulunu sağlayan çözümün varlık ve tekliği araştırılmaktadır.Bu çalışmayı, ilk ikisi hazırlık aşaması şeklinde olan dört bölüme ayırmakmümkündür. Birinci bölüm, temel kavramlardan, Cauchy probleminin klasik anlamdakive genelleştirilmiş anlamdaki çözüm kavramlarından ve yardımcı teoremlerdenoluşmaktadır. İkinci bölüm, Cauchy probleminin klasik anlamdaki çözümünün varlıkve tekliği ile ilgili teoremlerden oluşmaktadır. Bu bölümdeki ispatlarda, Banach sabitnokta teoremi, Arzelá-Ascoli teoreminden yararlanılmakta ve Euler kırık doğrularıyöntemi ile Picard yaklaşımları yöntemi kullanılmaktadır. Üçüncü bölümde, sağ-tarafısüreksiz adi diferansiyel denklem sistemi için Cauchy probleminin çözümünün varlığıve tekliği üzerine çalışılmaktadır. Çalışmanın son bölümünde, yüksek mertebeden biradi diferansiyel denklemin söz konusu olduğu problemin çözümünün varlığı ve tekliğiincelenmektedir. Yine bu bölümde, Cauchy probleminin çözümünün genelleştirilmiş birhali üzerinde çalışılmaktadır.

In this thesis, Cauchy problem is investigated for ordinary differential equations systemwith discontinuous right-hand sides. The theorems about the existence and uniquenessof the solution of this problem in the generalized sense are expressed and proved.Specifically, the existence and uniqueness of the solution that satisfies the Lipschitzcondition is examined.This thesis has four parts which the first two are related to the preliminary process. Thefirst part consists of the basic concepts, the Cauchy problem in the classical sense andthe generalized solution concepts and auxiliary theorems. The second part consists oftheorems about the existence and uniqueness of the classical solution of the Cauchyproblem. In the proofs in this section, Banach fixed point theorem, Arzelá-Ascoli theoremis used and the Euler fracture line method and Picard approach method are used. In thethird part, the existence and uniqueness of the solution of the Cauchy problem for ordinarydifferential equations with discontinuous right-hand sides are studied. In the last part ofthe study, the existence and uniqueness of the solution of the problem of a higher orderordinary differential equation is examined. Also in this section, a generalized state of thesolution of the Cauchy problem is investigated.