Constructing self-dual codes over the rings F2+vF2 and F2xF2+vF2

Abstract

Bu tezde, F2+vF2 ve F2xF2+vF2 (v^2=v) halkaları üzerine self-dual kodlar gözönüne alınmıştır. Her iki halka üzerindeki Öklid ve Hermit self-dual kodları eldeetmek için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Uzaklık koruyan Gray dönüşümlerikullanılarak bu halkalar üzerindeki kodlar F2 cismine taşınmıştır. Bazı dairesel (circulant)ve simetrik matrisler kullanılarak F2+vF2 halkası üzerindeki çift uzunluklu serbestÖklid ve serbest Hermit self-dual kodlar elde edilmiştir. Çift uzunluklu Hermit self-dualkodlar kullanılarak tek uzunluklu Hermit self-dual kodları elde etmeye imkan tanıyanyeni bir kısaltma metodu sunulmuştur. Varlığı daha önce gösterilemeyen, minimumHamming ağırlığı 8 olan 31 uzunluğundaki Hermit self-dual kod kısaltma metodukullanılarak bulunmuştur. Karakteristiği 2 olan F2xF2+vF2 değişmeli halkasının yapısıaraştırılmıştır. Bu halka zincir olmayan bir halkadır. Bu halka üzerine lineer kodlartanımlanmıştır. Bazı dairesel ve simetrik matrisler kullanılarak F2xF2+vF2 halkasıüzerindeki çift uzunluklu serbest Öklid ve serbest Hermit self-dual kodlar bulunmuştur.F2xF2+vF2 halkası üzerindeki lineer kodlar için tam, simetrikleştirilmiş, Hamming veLee ağırlık dağılımları tanımlanmış ve MacWilliams eşitlikleri ispatlanmıştır.

In this dissertation, self-dual codes over the rings F2+vF2 and F2xF2+vF2 with v^2=vare considered. The necessary and sufficient conditions in order to obtain Euclidean andHermitian self-dual codes over both rings are given. By using the distance preservingGray maps, codes over these rings are transferred to the binary field F2. By usingsome circulant and some symmetric matrices, free Euclidean and free Hermitian self-dualcodes over the ring F2+vF2 of even length are obtained. A new shortening methodwhich enables us to obtain Hermitian self-dual codes of odd length by using Hermitianself-dual codes of even length is presented. The Hermitian self-dual code of length 31with minimum Hamming weight 8 whose existence was not known previously is foundby using the shortening method. The structure of the ring F2xF2+vF2, which is acommutative non-chain ring of characteristic 2, is investigated. Linear codes over thisring are defined. By using some circulant and some symmetric matrices, free Euclideanand free Hermitian self-dual codes over the ring F2xF2+vF2 of even length are found.The complete, symmetrized, Hamming and Lee weight enumerators for the linear codesover the ring F2xF2+vF2 are defined and the MacWilliams identities are proved.