İzomanifoldlar ve izomonifoldların eğrilikleri üzerine

Abstract

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, manifoldlar için temel teşkil eden bazı matematiksel yapıların izotopic liftinglerine ayrılmıştır, ikinci bölümde izomanifoldlara zemin hazırlayan cebirsel ve topolojik kavramların izotopileri verilmiş, reel kartezyen izomanifoldlar üzerinde durulmuştur. Çalışmanın orijinal kısmını üçüncü bölüm oluşturmaktadır. Bu bölümde D. Loveluck ve H. Rund [4] tarafından, herhangi bir diferensiyellenebilir manifold üzerinde yapılan çalışma temel alınarak orada elde edilen sonuçlar diferensiyellenebilir izomanifoldlar üzerine genişletilmiş ve orijinal sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Buna göre bir diferensiyellenebilir izomanifold üzerinde izotensör alanları bileşenleri bazında ele alınarak izodiferensiyelleri, izomutlak diferansiyelleri, izoko varyant türevleri tanımlan mıştır. Bunlardan faydalanarak bir diferensiyellenebilir izomanifold M üzerinde izoeğrilik ve izotorsiyon tensör kavramları tanımlanarak özellikleri incelenmiştir. Bu bölümün son paragrafında bir izoriemann metrik tensörü tanımlanarak kısaca Riemann geometrisinin izotopilerinden de bahsedilmiştir.

This thesis consists of three chapters. The first chapter contains isotopic generalization of some mathematical structures that are the fundamental notions for manifolds. The second chapter contains isotopies of the algebraic and topologic notions. Also it contains the theory of reel Cartesian manifolds. This is important because each manifold locally behaves like a real Cartesian manifold. The theory of the real Cartesian isomanifolds is studied in the subsections.. The third chapter is the original part of the thesis. In this chapter we gave a generalization of the notions which are studied by D. Loveluck and H. Rund [4] on any differentiable manifold to isomanifolds. We consider the components of an isotensor field instead of it and defined isodifferentials, isoabsolute differentials, and isocovariant derivatives of them. Also we defined the isocurvature and isotorsion tensors by using these and studied the properties of them. The last section of this chapter we defined the isoriemann metric tensor and shortly talk about isotopies of Riemann geometry on a manifold.