Bazı kısmi diferensiyel denklemlerin B-spline diferensiyel quadrature metodu ile nümerik çözümleri

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezde kullanılacak olandiferensiyel quadrature metodu hakkında bazı genel bilgiler verildikten sonra splinefonksiyonlar, B-spline fonksiyonlar, Thomas algoritmaları, dördüncü mertebedenRunge-Kutta algoritması, kararlılık ve yakınsama oranı hakkında temel bilgiler verildi.İkinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan B-spline diferensiyelquadrature metotlar hakkında temel bilgiler verildi.Üçüncü böülümde, mKdV denkleminin kuintik B-spline diferensiyel quadraturemetot ile nümerik çözümleri elde edildi. Bu yöntem ele alınan dört test problemeuygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlar literatürde mevcut olan bazı sonuçlar ilekarşılaştırılarak hata normları ve korunum sabitleri tablolar halinde verildi. Eldeedilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler elde edilirken kullanılan katsayı matrisindenelde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerek kararlılık analizi incelendi.Dördüncü bölümde, KdVB denkleminin yanısıra KdV ve Burgers' denklemlerininde kuintik B-spline diferensiyel quadrature metot ile nümerik çözümleri elde edildi.Bu yöntem, ele alınan dört test probleme uygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlarliteratürde mevcut olan bazı sonuçlar ile karşılaştırılarak hata normları ve korunum sabitleri tablolar halinde verildi. Elde edilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler eldeedilirken kullanılan katsayı matrisinden elde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerekkararlılık analizi incelendi.Beşinci bölümde, mBurgers' denkleminin kuintik ve kuartik B-spline diferensiyelquadrature metotlar ile nümerik çözümleri elde edildi. Bu yöntemler ele alınan birtest probleme uygulandı. Elde edilen nümerik sonuçlar literatürdeki mevcut sonuçlarile karşılaştırılarak hata normları tablolar halinde verildi. Önceki bölümlerde olduğugibi elde edilen nümerik çözümlerin ve bu çözümler elde edilirken kullanılan katsayımatrisinden elde edilen özdeğerlerin grafikleri verilerek kararlılık analiziincelendi.

This thesis consists of five chapters. In the first chapter, after giving some generalinformation about the differential quadrature method which will be used in thethesis, fundamental concepts about spline functions, and B-spline functions, Thomasalgorithms, fourth order Runge-Kutta algorithm, stability, and rate of convergenceare presented.B-spline differential quadrature methods are presented in the second chapter. Theweighting coefficients, necessary to approximate the derivatives, are determined byusing B-spline functions.In the third chapter, numerical solutions of the mKdV equation are obtainedby quintic B-spline differential quadrature method. This method is applied to fourmodel problems. The obtained numerical results are compared with existing resultsin the literature, the error norms and the invariants are given in the form of tables.The figures of the numerical solutions and eigenvalues of the solutions are given andthe stability analysis of the approximation obtained by applying quintic B-splinedifferential quadrature method is also investigated.In the fourth chapter, besides numerical solutions of the KdVB equation, numericalsolutions of the KdV and Burgers' equations are also obtained by quintic B-splinedifferential quadrature method. The method is applied to four model problems. Theobtained numerical results are compared with existing results in the literature, theerror norms and the invariants are given in the form of tables. The figures of thenumerical solutions and eigenvalues of the solutions are given and the stability analysisof the approximation obtained by applying quintic B-spline differential quadraturemethod is also investigated.In the fifth chapter, numerical solutions of the mBurgers' equation are obtainedby quintic and quartic B-spline differential quadrature methods. Both methods areapplied to one model problem. The obtained numerical results are compared withexisting results in the literature, the error norms are given in the form of tables.The figures of the numerical solutions and eigenvalues of the solutions are given andthe stability analysis of the approximation obtained by applying quintic and quarticB-spline differential quadrature methods is also investigated.