Sıradan türevli denklemlerin sayısal çözümünde yüksek boyutlu model gösterilimi değişmezlik ölçeni eniyilemesi

Abstract

Sıradan Türevli Denklemler (STD), birçok mühendislik ve fizik probleminde karşımıza en çok çıkan matematik modellemelerdendir. Bu denklemler, doğrusal ya da doğrusal olmayan denklemler olabilmektedir. Bu tez çalışmasında verilen Sıradan Türevli Denklemin sayısal olarak çözümü diğer bir deyişle çözümün yaklaştırımı için yöntemler geliştirilmiştir. Öncelikle doğrusal denklemler ele alınmış, daha sonrasında ise doğrusal olmayan denklemler için çözüm yolları geliştirilmeye çalışılmıştır.İlk olarak geliştirilen yöntemde, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi'nin (YBMG) etkinliğinden faydalanılmıştır. YBMG son 15 yıl içerisinde geliştirilmiş bir yöntem olup, çok değişkenli işlevlerin daha az sayıda değişken içeren işlevler kullanılarak yaklaştırılması düşüncesine dayanmaktadır. Bu amaçla ilgili STDin çözümü için uygun bir Hilbert Uzayından seçilen taban takımı aracılığı ile doğrusal birleştirimi olarak yazılmakta ve bu birleştirimdeki bilinmeyen katsayılar YBMG değişmezlik ölçenini en büyük yapacak biçimde seçilmektedir. Taban işlevleri çokterimli altkesimsel türündedir. Bu çalışmada sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü dereceden taban işlevleri ile elde edilen yaklaştırımlar yapılmıştır. STDin gerçek çözümüne en yakın olabilecek bir yaklaştırım işlevi elde edilmiştir. Ancak gözlemler, içdeğerbiçimsel yaklaştırımın yakınsama için çok büyük çaba gerektireceğini göstermiştir.Sendelenimsizlik Yaklaştırımı bu aşamada kullanılarak, sayısal çözümün hem hızlı hem de oldukça iyi bir biçimde yakınsatılması başarılmıştır. Sendelenimsizlik Yaklaştırımı son 2 yılda geliştirilen bir yöntemdir. Yöntem, yüksek kerteden başlangıç koşullu denklemlere ve sınır değer koşullu denklemlere uygulanmıştır. Diğer sayısal yöntemlere göre az sayıda düğüm noktası kullanılarak oldukça iyi bir yaklaştırım elde dilmiştir.Tez çalışmasında ayrıca doğrusal olmayan sıradan türevli denklemlerin sayısal çözümü için de yöntem geliştirilmeye çalışılmıştır. Burada yalnızca birinci kerteden denklemler ele alınmıştır. Yüksek kerteden denklemler ise birinci kerteden denklem sistemine dönüştürülerek sistemin çözümü gerçekleştirilebilir. Sayısal çözüm için YBMG'nden faydalanılmıştır. Ortaya çıkan doğrusal olmayan denklemler ise cebirsel olarak Gröbner Tabanı yöntemi ile çözülmüştür. Gröbner Tabanı yöntemi, var olan birçok doğrusal olmayan denklemlerin sayısal çözüm yöntemlerinden daha etkili ve daha tutarlı sonuçlar veren bir yöntemdir. Ancak Gröbner tabanı yöntemi, yüksek dereceden çokterimlilerin oluşturduğu doğrusalsızlıklarda kullanılabilen bir yöntemolduğundan, bu çalışmada, çokterimli yapıdan dolayı doğrusal olmayan STD'in çözümü gerçekleştirilmiş ve gerçek çözüme oldukça yakın sonuçlar elde edilmiştir.STD'in, bağımlı değişkenin çokterimli yapısından kaynaklanmayan diğer doğrusal olmayan türevli denklemlerinin sayısal çözümü için Uzay Genişletme yönteminin etkinliğinden faydalanılmıştır. Bu yöntemde, sıradan türevli denklemin sağyanı, yani türevsiz kesimi, farklı bilinmeyen işlevlerin ikinci dereceden çokterimlileri türünden yazılarak, birinci kerteden sıradan türevli denklem takımına dönüştürülmüştür. Bu denklem takımı, yöneysel yapıda yazılarak, sayısal çözümün Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi ile değişmezlik ölçenleri elde edilmiştir. Oluşan doğrusal olmayan denklemler Gröbner Tabanı ile çözülmüştür. Bu çalışmada geliştirilen bu yöntemin ileride yapılabilecek çalışmalara taban oluşturması amaçlanmıştır.Türevli denklem takımının sağ yanında bulunan ikinci dereceden çokterimliler, alt sırasayısı üç olan diziler ile gösterilebilir. Bu durum, çoklu dizeylerin kullanımını gerektirmiştir. Bunun için Çoklu Doğrusal Cebir'de bulunan bazı temel kavramlar tanıtılmıştır. Çoklu Doğrusal Cebir'in en önemli konularından biri olan Yüksek Kerteden Tekil Değer Ayrıştırımı kullanılarak verilen çoklu dizeyin, bir özdüzeyli yöneyler türünden anlatımı elde edilmiştir. Ayrıştırım sırasında oluşan doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için Gröbner tabanından yararlanılmıştır.

Ordinary Differential Equations (ODE) are amongst the most commonly used mathematical models in physics and engineering. These equations may be linear or nonlinear. In this thesis, new methods are developed to obtain the numerical or the approximate of the solution for Ordinary Differential Equations. Linear equations are dealt at first and then nonlinear equations are studied.The first method is based on the use of High Dimensional Model Representation (HDMR). HDMR is a new concept developed in last 15 years. It is basically depend on the idea of representing multivariate functions by using less number of variables including functions. Therefore the numerical solution is written as a linear combination of functions in the basis set of an appropriately chosen Hilbert Space for the solution of ODE. The unknown coefficients in this combination are calculated so that the HDMR constancy measurer becomes maximum. The functions in the basis set are polynomial splines. In this study, the approximation is achieved via the basis functions which are polynomials of degree first, second and third. An approximate function is obtained which is very close to the analytical solution of the problem. However, observations have shown that spline interpolation requires enormous efforts for convergence.In this case, Fluctuationlessness Approximation is used so that the numerical solution is obtained rapidly and the approximation is quite satisfactorily. Fluctuationlessness Approximation has been developed in last two years. This approximation is applied on higher order initial and second order boundary value problems. This method has the advantage of good approximation although a few number of nodes are used comparing the other methods.Furthermore, a method is developed for the solution of nonlinear ordinary differential equations in this study. However only first order equations are studied here. Even it seems simple, higher order equations can be transformed to a system of first order equations by defining some appropriate extra unknowns. HDMR is used for the numerical solution here. The nonlinear equations obtained during the process are solved by Gröbner Basis. Gröbner Basis gives more accurate results than many existing methods of solving nonlinear equations. Since Gröbner Basis is used in polynomials of any order, the method is developed for Nonlinear Ordinary Differential Equations where the nonlinearity comes from the higher degree in dependent variable. The results show very good approximations.A method based on Space Extension is developed for the numerical solution of Nonlinear Ordinary Differential Equations where nonlinearities do not have polynomial structures. In this method, the right hand side of the equation, which contains the derivativeless terms, can be written as second degree polynomials of unknown functions, where appropriate new unknowns are defined in terms of the original ones as long as the relations of these unknowns to the original ones are closed under the action of the Lie operator with respect to original unknowns. Therefore the original problem is transformed to a system of first order differential equations. This system is expressed as vectors and constancy measurers of numerical solution are obtained by High Dimensional Model Representation. Nonlinear equations which occur during the process are solved by Gröbner Basis. The method that is developed in this thesis is aimed as a base for future studies.The quadratic polynomials that are on the right hand side of the system of the differential equation can be represented by multiway arrays with three indices. This situation requires the use of tensors. Therefore basic concepts of Multilinear Algebra are introduced. Higher Order Singular Value Decomposition, which is one of the important subjects of Multilinear Algebra, is used to obtain a given tensor as the outer product of rank one vectors. The solution of nonlinear equations that occur in the decomposition is established via Gröbner Basis.