Mathematical modeling and stress analysis of wire ropes under certain loading conditions

Abstract

Tel halatlar endüstri ve günlük yaşamda asırlardır geniş kullanım alanı bulmaktadır. Literatürde yer alan analitik çözümler sadece basitleştirilmiş geometrik ve fiziksel kabuller göz önünde bulundurularak, ara kesit yüzeyleri üzerinde karmaşık geometrik ve fizikler sınırlandırmaları öngörecek biçimde gerçekleştirilmiştir. Bu tezin amacı; tel halatların kompleks geometrisinin matematiksel modelinin geliştirilmesi, gerçek 3-D geometrik katı modelinin uzunluk sınırlaması olmadan oluşturulması ve belirli yükleme koşulları altında modelin nümerik çözümlerinin bulunmasıdır. Bu maksatla, tel halat teorisinin matematiksel modeli araştırılarak karşılaştırma yapmak maksadıyla analitik sonuçlar türetilmiştir. Analitik sonuçlar eksenel yüklü düz tel demet ve bağımsız tel halat çekirdeği (BTHÇ) için hesaplanmıştır. Oluşturulan nümerik modeller sonlu eleman analizi ile çözülmüş ve nümerik sonuçlar analitik ve mevcut test sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Love'nin yazmış olduğu iyi bilinen bir bilimsel incelemesi tel halatlar teorisi için başlangıç noktası olarak kullanılmıştır. Costello tarafından türetilen analitik sonuçlar farklı bir yorumla kanıtlanmış ve nümerik sonuçlar ile analitik sonuçların karşılaştırılması yapılmıştır. Sonuç olarak nümerik ve analitik sonuçların iyi uyum gösterdikleri görülmüştür.Literatür incelemesi boyunca araştırmacıların bir çoğunun temas, sürtünme, kayma, tel demet/halat boyu gibi özellikleri matematiksel ve geometrik karmaşıklıklarından ötürü dikkate almadıkları görülmektedir. Aynı zamanda analitik çalışmaların ve sonuçların çoğu bu sebeple tel demet/halat arakesiti üzerine dayandırılmaktadır ve literatürde BTHÇ ve Seale tipi BTHÇ için gerçek bir 3-D analize rastlanmamaktadır. Bu nedenle gerçek bir 3-D tel demet ve tel halat katı modeli tek ve çift helisel telin parametrik formülasyonu kullanılarak oluşturulmuştur. Tek ve çift helisel tellerin her ikisinin matematiksel formülasyonu analiz edilerek kontrol noktaları yardımıyla helisel yolların tespit ve çizimini yapan bir kod geliştirilmiştir. Bu kod tek ve çift helisel tellerin merkez helisel yollarının yerleşimini hesaplamaktadır. Daha sonra 3-D anlayışıyla oluşturulan teller düz bir tel üzerine sarılarak düz bir demet ve daha önce çift helisel tel geometrisini oluşturan kod yardımı ile elde edilen demetler ise düz bir demet üzerine sarılarak tel halat katı modeli oluşturulmuştur.İlk olarak nümerik analizler basit düz bir demet üzerinde gerçekleştirilmiştir. Nümerik modeller hem sürtünmesiz hemde sürtünmeli davranışları dikkate almaktadır. Sürtünmesiz ve sürtünmeli modellerin basit düz demet için yapılan karşılaştırmalarında analitik ve test sonuçlarıyla iyi bir uyum sağlandığı gösterilmiştir. Daha sonra farklı sarım tipleri için oluşturulan üç boyutlu BTHÇ modeli eksenel yükleme koşulları altında analiz edilmiştir. Bulunan sonuçlar teori ile iyi uyum göstermiştir. Başka bir karmaşık analiz çalışması zorlanmış dönme koşulu altındaki BTHÇ üzerinde gerçekleştirilmiştir. Sabit bir uzama değerinde, BTHÇ döndürülerek hesaplanan sonuçlar sunulmuştur. Ek olarak bir tel demetinin tanbur üzerine eğilmesi problemine ait nümerik model önerisi oluşturulmuştur. Sonuçlar bir tel demetin gerçek bir uygulama alanındaki genel davranışını göstermektedir. Nümerik çözümün paralelleştirilmesi eğilme problemi kullanılarak yapılmış ve paralelleştirmeye ilişkin elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Daha sonar Seale BTHÇ katı modeli önerilen modelleme tekniği kullanılarak geliştirilmiştir. Seale BTHÇ için bulunan tel bazında analiz sonuçları önerilen modelleme ve analiz şemasının bir sonucu olarak sunulmuştur. Sonunda bir tel demet üzerinde temas ilişkileri tanımlanmıştır. Merkez tel ile helisel teller arasında oluşan temas hattı elde edilen sayısal sonuçlar kullanılarak 3-D çizdirilmiştir. Teller arasındaki temas durumundan ötürü kaynaklanan deformasyon incelenmiş ve tel yarıçapındaki azalmanın değişimi temas ilişkileri kullanılarak gösterilmiştir. Önerilen metodun önemli bir faydası katı halat modelinin uzunluk sınırlaması olmadan oluşturulmasıdır. Bu sözü edilen husus 1m-5m uzunluğunda tel demetleri oluşturularak ve analizleri yapılarak gerçekleştirilmiştir. Nümerik analizler boyunca elde edilen sonuçlar tel bazında elde edilerek sunulmuştur. Önerilen nümerik modelin faydası üç boyutlu tel halat modeli üzerinde istenilen parçalar üzerinde araştırma yapmaya imkan sağlamasıdır. Endüstriyel alandan gelen bir soru üzerine 6x19 Seale BTHÇ'nin oluşturulması için her telin uzunluğu, tek ve çift helisel tellerin parametric denklemleri kullanılarak hesaplanmıştır.Bu tezde, katı tel halat modeli yöntemi açık bir biçimde karmaşık geometriler için geliştirilmiştir. Tel Halat İskeleti (THİ) adı verilen bir tel halat kodu geliştirilmiştir. THİ kodu ile basit tek helisel tel ile karmaşık çift helisel tel geometrileri oluşturulabilmektedir. Daha sonar bu kod geliştirilerek tek başına çalışabilen bir kod olan Tel Halat Model ve Mesh Üreteci (THMMÜ) adlı kod yazılmıştır. Önerilen yöntem ile mesh yapısı kurulmuş hatasız ve analize hazır tel halat katı modelinin oluşturulması sağlanmıştır. Önerilen yöntem basit düz tel demet, BTHÇ ve Seale tipi BTHÇ gibi geniş bir alandaki katı halat modellerinin oluşturulmasında ve analizinde başarı ile kullanılmıştır. Burada önerilen metodoloji ile tel halatların uzunluk sınırlaması olmaksızın modellenebileceği gösterilmiştir. Ayrıca bu durum 1m-5m uzunluklarındaki demetlerin modellenmesi ve analizi uygulamasıyla gerçeklenmiştir. Uzun tel halatlar üzerinde yapılan analiz çalışmalarında süperbilgisayarlar kullanılarak hassas sonuçlar elde edilmiştir. 1m -5m uzunluğundaki tel demetleri için yapılan analiz sonuçlarından uzun halat yapılarındaki gerilme dağılımlarının doğru bir biçimde elde edilebilmesinde modelin mesh büyüklüğü önemli bir role sahip olup doğru sonuçlar elde etmek için mesh büyüklüğü artırılmalıdır. Tel halatlar üzerindeki temas ilişkileri merkez tel ile dış teller arasında ve dış tellerin birbirleri arasında kurulmuş ve temas analizi için çok ince bir mesh yapısı oluşturulmuştur. Bir tel demetin arakesit bölümü üzerinde tellerin deformasyonları gösterilmiştir. Sonuç olarak tel halat geometrileri için derin bir analiz modeli geliştirilmiş ve tel bazında analiz sonuçları elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar teorik sonuçlar ile mevcut test sonuçları kullanılarak karşılaştırılmış ve uyumlu oldukları sonucuna varılmıştır. Son olarak, bu modelleme metodu ve nümerik çözümleme yöntemi tel halatların kullanıldığı geniş uygulama alanlarında kullanılabileceği öngörülmektedir. Bu alanlar arasında tel halatların; hasar analizi, tekrarlı yüklemeler, ömür tahmini, kuş kafesi ve ters eğilme problemleri örnek olarak sayılabilir.

Wire ropes found wide application area in the industry and daily life for ages. Analytical solutions in the literature are only available for simplified geometrical and physical considerations using the cross-section of a rope due to complex geometrical and physical constraints. The aim of this thesis is to develop mathematical model of the complex geometry of wire ropes, solid modeling of the real 3-D geometry without length limitation, and solve the model numerically under certain loading conditions. For the sake of this aim, mathematical model of wire rope theory is investigated to find analytical solutions for comparisons with numerical results. Analytical results are obtained for axially loaded straight wire strand and independent wire rope cores (IWRC). Generated numerical models are solved by using finite element analysis and numerical results are compared to both analytical results and available test results. One of the well-known classical treatise of Love is used as the starting point of the theory of wire ropes. Analytical solutions derived by Costello are proved in a different sense and numerical results are compared to the analytical solutions. As a result, it has been concluded that numerical and analytical results are in good agreement. Throughout the literature search, it has been observed that most of the researchers intended not to take into account properties such as contact, friction, sliding, and length of wire strand/rope because of the difficulties arising from mathematical and geometrical complexities. In addition, most of the analytical studies and results rely on the cross-sectional part of a wire strand/rope and there is a lack of real 3-D analysis present at the literature for the complex wire ropes such as IWRC or Seale IWRC. Therefore, an exact 3-D solid model of wire strand/rope is constructed by using parametric formulations of single and nested helical wires. Mathematical formulations of the both single and nested helical wires are analyzed and a code is generated to create these helical geometries by using control points. The code is generated to find the location of a helical path where the centerline of the single and nested helical wires lies. Then helical wires are created in 3-D sense and wrapped around a straight wire to construct a simple straight strand, and strands generated before by using nested helical geometry are wrapped around a straight strand to build a solid wire rope model.Numerical analyses are conducted over a simple straight strand at first. The numerical models are considered both by frictionless and frictional behaviors. Comparisons of both frictionless and frictional numerical results of the simple straight strand showed good agreement to the analytical and available test results. Then 3-D solid model of an IWRC for different lay types are analyzed under axial loading conditions. The results are in good agreement with the theory. Another complicated analysis is conducted on an IWRC, which is under forced rotation. Under a constant strain, IWRCs are rotated and the obtained results are presented. In addition, a numerical model of a wire strand bent over a sheave problem is proposed. The results show the general behavior of a wire strand in the real application area. Parallelization of the numerical solution is conducted over the bending problem and results are argued. Then solid modeling of a Seale IWRC is developed using the proposed modeling technique. A wire-by-wire analysis result for Seale IWRC is presented as a consequence of the proposed modeling and analysis scheme. At the end, contact interactions over a wire strand are defined. Line of contact between core wire and outer helical wires are plotted in 3-D model by using the obtained numerical results. Deformations occurred due to contact between wires are investigated and wire radius contraction is shown by using contact interactions. One of the important benefits of the proposed method is to create solid wire rope model without length limitation. This issue is shown by generating 1m-5m wire strands and their numerical analysis. Numerically obtained analysis results are presented in wire-by-wire basis. The benefits of the proposed numerical model enable one to probe over the intended parts of a 3-D numerical model. As an industrial inquiry, length of wires necessary to compose a 6x19 Seale IWRC is computed using the parametric equations of single and nested helical wires.In this thesis, solid wire rope modeling procedure is clearly developed for such complicated geometry. A wire rope code named Wire Rope Skeleton (WRS) is developed which is able to create both basic single helical and complicated nested (double) helical wire geometry. Then it is developed to run as a stand-alone code and named as Wire Rope Model and Mesh Generator (WRMMG). A meshed wire rope model is created by using the proposed method ready and error free to analyze using the finite element codes. The proposed scheme is applied successifully to wide range of wire ropes such as; simple straight wire strands, IWRCs and Seale IWRCs. It has been shown that with the proposed modeling methodology, wire ropes can be build without length limitation. This is also examined over a 1m-5m wire strand models. Analyses over long wire ropes are conducted using supercomputers and accurate results are obtained. From the analysis results of 1m-5m wire strands, it can be concluded that to obtain correct stress distribution over a long wire rope, model mesh plays an important role and should be increased to obtain accurate results. Contact interactions over wire ropes are included and a very fine mesh is build over a wire strand to show the interactions between core-outer wires and between individual outer wires. Deformations of the wires over the cross section of a wire strand are shown. As a result, a deep analysis model for wire rope geometries are developed, and wire-by-wire analysis results are found using the proposed method. The results are compared both with theory and available test results and shows good aggreement. Finally this modeling scheme and numerical method could be applied to wide range of complicated application areas of wire ropes such as, damage analysis, cycling loading, life expectancy, bird caging and reverse bending problems.