Yüksek boyutlu model gösteriliminde sendelenimsiz matris gösterilimi tabanlı ağırlık eniyilemesi

Abstract

Bu çalışmada, ilk olarak Sobol tarafından tasarlanan ve artık günümüzde oldukça yaygın olarak kullanılan Yüksek Boyutlu Model Gösterilim (YBMG) yönteminin etkinliğinin arttırılabilmesi için ağırlık eniyilemesi yapılmaktadır. YBMG yöntemi, N bağımsız değişkene bağlı çok değişkenli bir işlevi; bir değişmez işlev, N sayıda tek değişkene bağlı işlevler, N(N-1)/2 sayıda iki değişkene bağlı işlevler ve bu şekilde giderek artan sayıda değişkene bağlı olan işlevlerin toplamı şeklinde anlatabilmek için kullanılan bir açılım yöntemidir.Bu açılım toplam 2^N sayıda işlev içermektedir ve bu işlevlerin hepsinin birden açılımda yer alması durumunda çok değişkenli işlev tam olarak anlatılır. Ancak hem açılımda yer alan işlevlerin belirlenmesi sırasında integral işlemlerinin bulunması hem de N sayısı çok yukarılara tırmandığında çok fazla sayıda işlevin hesaplanma gerekliliği, açılımdan baştan belli sayıda işlev alıkonularak verilen işlevi anlatabilme zorunluluğunu getirmektedir. YBMG açılımını kullanırken eğilim, hesaplama karmaşıklığını yükseltmemek adına, açılımın en fazla iki değişkene bağlı olan işlevlerinin içerildiği halinin kullanılmasıdır. Bu durumda verilen çok değişkenli işlev yaklaşık olarak temsil edilir. Yaklaştırımın başarısının arttırılması için açılımın bilimsel yazında varolan yapısında bir eniyileme yapılması gündeme getirilebilir. Bunu başarabilmenin yollarından bir tanesi, bu tez çalışmasının da konusu olan, YBMG yönteminin kendi yapısında bulunan ve yöntemin bir parçası olan ağırlık işlevinin daha etkinleştirilmesi için ağırlık eniyilemesinin yapılmasıdır.Tez çalışması içerisinde YBMG yönteminde ağırlık eniyilenmesi iki ana bölüme ayrılarak anlatılmıştır. İlk ana bölümde, analitik yapısı bilinen bir çok değişkenli işlevi temsil edebilmek uzere, yapısı daha az karmaşık olan yaklaşık bir işlev elde edilmesi sırasında ağırlık eniyileme denklemlerinin elde edilerek çözülmesi anlatılırken, ikinci ana bölümde ise, analitik yapısı bilinmeyen işlevlerin çok değişkenli bir veri kümesi üzerinde kümenin her bir düğüm noktasındaki değerleri verildiğinde ilgili işleve uygun bir analitik yapının ortaya çıkarılması sırasında ağırlık eniyilemesinin nasıl yapılabileceği anlatılmaktadır.Analitik yapısı bilinen bir çok değişkenli işlevin YBMG yöntemine açılması sırasında ağırlık eniyilemesi için elde edilen denklemler iki farklı yol kullanılarak çözülmeye çalışılmıştır. Bunlardan ilki saptırım açılımları yöntemi diğeri ise tez danışmanı tarafından geliştirilmiş olan sendelenim açılımları yöntemidir. Analitik yapısı bilinmeyen ancak hiperprizmatik düzgün bir ızgaranın tüm düğüm noktalarında değerleri verilmiş olan işlev için YBMG yöntemi kullanılarak bir analitik yapı belirlenmesi ağırlık eniyilemesi altında gündeme getirilmiş ve bu eniyilemenin oluşabilmesi için sendelenimsiz integrasyon yönteminden yararlanılmıştır.

SUMMARYIn this work, a weight function optimization is developed to increase the efficiency of the High Dimensional Model Representation (HDMR) method, a widely used method, which was first proposed by Sobol. HDMR is constructed as an expansion for a given multivariate function having $N$ independent variables such that its components are ordered starting from a constant component and continuing in ascending multivariance, that is, $N$ number of univariate, and $N(N-1)/2$ number of bivariate components and so on. The total number of HDMR expansion's components is $2^N$ and all of these components must be used in the expansion to have the ability of exactly representing the given multivariate function. However, the requirement of evaluating both the integrals appearing in the relations obtained for the HDMR components and huge number of HDMR components depending on the rapid increase of $N$ brings us to take only first few HDMR components into account to represent the given multivariate function. The tendency in the HDMR expansion utilization is to go to at most the bivariate components not to increase the computational complexity. Using a few components of the HDMR expansion corresponds to the approximate representation of the given multivariate function. An optimization in the structure of the method can be brought up to increase the efficiency of this approximation. One way to achieve this is the optimization of the HDMR's weight function.This is the main subject of this work. The optimization of the weight function in the HDMR method is explained in two main sections of this thesis. In the first part, the weight function is tried to be optimized in such a problem that the analytical structure of the multivariate function is known and the task is to represent that function in terms of less-variate more simple functions. In the second part, an algorithm to optimize the weight function of the HDMR method is given under the assumption that the analytical structure of the function to be represented through the HDMR method is not known, instead, the values of the function at the nodes of the given multivariate data set are known to determine an analytical structure. The equations obtained for the optimization of the weight function in the representation of a multivariate function through the HDMR method whose analytical structure is known are tried to be solved by using two different ways. One of these methods is perturbation expansion method and the other is fluctuation expansion method which was first proposed by the supervisor of this thesis.Fluctuationlessness integration method is used to optimize the HDMR's weight function in problems such that the values of the multivariate function at the nodes of a hyperprismatics regular grid are given instead of the analytical structure of the function and is asked to determine an analytical structure for the sought function.