Sıradan türevli denklemlerin uzay genişletme ile evrensel bİr biçime dönüştürülmesi ve kesme yaklaştırımları

Abstract

Bu tezde, matris katsayılı türevli denklemler evrenselbir biçime dönüştürülerek asıl yapılarındanişlenmesi daha kolayyapılara dönüşüm sağlanmıştır.Sözü edilen dönüşüm uzay genişletme kavramıkullanılarak gerçekleştirilmektedir. Öncelikle denklem uzay genişletmekavramı kullanılarak yeni bir evrensel biçimedönüştürülür ve sonra da bu genel yapınınseri çözümü elde edilir. Elde edilen seri çözümünkatsayıları ikili bir özyineli ilişkiyi sağlamaktadır.Bu çalışmanınasıl amacı elde edilen çözümden kesmeler yaparakyaklaşık çözüm üreten bir yapıoluşturmaktır.Geliştirilen yöntemin sonuçları, ilgilenilenaralığın değişik noktalarında saptırımaçılımları kullanılarak güçlendirilmektedir.Matris katsayılı türevli denkleme saptırımdeğiştirgesi eklenmekte ve denklem Maclaurin serisineaçılmaktadır. Böylece katsayıları iki terimli özyinelemeyi sağlayan bir kesme yaklaştırımıelde edilmektedir. Oluşturulan kesme yaklaştırımlarıiçin yakınsaklık ölçütleri incelenmiş vehata analizi yapılmıştır. Bu çalışmada üzerinde durulan bir diğer olgu da doğrusalolmayan türevli denklemlerin çözümüne yöneliktir.Öncelikle sendelenimsizlik yaklaştırımı kullanılarakgöretürevli denklemleraracılığı ile doğrusal olmayanmatris katsayılı türevli denklemler üretilmektedir.Daha sonra da göretürevli denklemlere uzay genişletmeuygulanarak evrensel biçim oluşturulmakta vebu biçimin seri çözümü elde edilmektedir.Göretürevli denklemler kullanılarak doğrusal olmayandenklem takımı üretmek oldukça önemli bir bulgudur.Bu, doğrusal olmayan denklem takımı çözmek zorundakalmadan bu tür denklemlere çözüm üretilmesini sağlar.

In this thesis, it is focusedon the conversion of matrix ordinary differential equations to certain universal forms which can be handled more easilythan their original structures.Conversion to new form is realized by using space extensionapproach which introduces new unknowns into equation. First,the differential equation is converted into a new universalform by using space extension approach. Then a series solutionto this common form is sought. The coefficients of this solutionform a two term recursion. Main purpose of this work is toconstruct approximate solutions by truncating this series solution.This method presented here is empowered by using perturbationexpansions at the other end point of the interval underconsideration. A perturbation parameter is introduced intothe matrix ordinary differential equation and the equationis expanded into Maclaurin series whose coefficients satisfya two term recursion and thus a new truncation approximation isconstructed. We also investigated the convergence and errorestimates for these truncation approximants.The nonlinear matrix ordinary differential equations are alsoconcerned in the thesis. First, fluctuation free approximationis used in order to obtain nonlinear matrix ordinary differentialvia certain partial differential equations. Then, space extension conceptis applied to partial differential equations. This is a veryimportant fact that we obtain a system of nonlinear ordinarydifferential equations by using partial differential equations.This prevents us from solving nonlinear ODEs.We get a solution for them by solving related PDEs via spaceextension approach.