Multivariate garch models

Abstract

Bu çalışmada ,Risk hesaplamada kullanılan alternatif metodlar karşılaştırılmış ve IMKB 30 hisselerini içeren bir portföy belirli bir risk düzeyinde maximum getir sağlamasın için portföy oluşturan hisse senetlerinin hangi oranda dağıtılması gerektiğinin hesaplaması yapılmıştır. Öncelikle Riske maruz değer ve Garch modelleri ilgili literatür taraması yapılarak geçmiş dönemler olmuş olan kriz süreçleri ile ilgili bilgiler verilmiş dünya çapındaki büyük firmaların riske maruz değeri hesaplamamaları sonucunda olarak firmaların kayıplarının önemi vurgulanmıştır.Bu kayıplar sonucunda riske maruz değerin hesaplanması gerekliliği ihtiyacı ve riske maruz değerin nasıl ortaya çıktığından bahsedilmiştir.Riske maruz değerin hesaplanmasına geçilmeden önce çalışmalarda sıkça kullanacağımız istatiksel terimlerden bahsedilip riske maruz değerin hesaplanmasında kullanılacak terimlerle ilgili açıklamalar yapılmıştır.Burada standart sapma ve varyans terimleri ile riske maruz değer arasındaki ilişkiden söz edilip hesaplamalara bu değerleri nasıl katacağımızı anlatacağız.Riske maruz değeri hesaplarken güven seviyesi,finansal enstrümanın güncel değeri,zaman dairesi gibi kavramların nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir.Riske maruz değeri hesaplamda kullanacağımız yöntemlerle karşılaştıracağımız GARCH ile ilgili bilgiler verilmiştir.Açılımı genelleştirilmiş otoregresif koşullu değişen varyans modelidir.Klasik yöntemlerde hata terimim sabit kabul edilirken Garch modellerinde hata teriminin koşullu varyansının geçmiş dönemlere ait hata terimleri karelerine bağlı olması yanında koşullu varyansın kendi geçmiş değerlerine de bağlı olacak şekilde oluşturulmuştur.GARCH(p,q) olarak ifade edilmiştir.Burada p hata terimlerinin karelerinin gecikme uzunluğu, q ise koşullu varyansındır.Garch modelleri ile ilgili açıklamalardan sonra hesaplamalı yaklaşım problemimiz ile ilgili modellemeye geliştirmeleri yapılmıştır.Hesaplamalı yaklaşım problemimizde IMKB 30 hisselerini içeren bir portföy oluşturularak verilen bir sabit getiri düzeyinde riski minimize edecek ağırlıkları olan hisse senetlerinden oluşan porföydeki hisse senetlerinin ağırlıkları hesaplanmıştır.Burada sabit bir getiri ve risk değeri olarak şeklinde gösterimler ve varsayımlar yapılmıştır. Bu çalışamada IMKB 30 hisse senetlerini içeren bir 30 X 30 `luk matris üzerinde çalışılmış olup 30(30+1)/2 işlemsayısı kadar hücrede bulunan covarianceler hesaplanmıştır.Matris simetrik olup pozitif definittir.Bu kısıtlar altında problemimizi çözerek hisselere ait ağırlık fonsiyonlarının değerleri hesaplanmıştır.Matrisin herbir hücresindeki değer hesaplanırken veriler veritabanında tutulmuş olup hesaplama işlemlerinde matematica programlama dili kullanılmıştır.Burada hesaplamalı problemde amaç belirli bir risk seviyesinde maksimum getiriyi elde edeceğimiz ağırlık fonsiyonlarını hesaplamaktır.Bu değer probleminde 2 adet kısıtımız bulunmaktadır.1.si ağırlık fonsiyonlarının toplamının 1'e eşit olması diğer kısıtımız ise belirli bir getiri düzeydir.Biz bu kısıtlara lagrange çarğanları demekteyiz.Problemimizin çözümü sırasında iteratif bir method olan Gauss Siedel metodu ile bulunmuştur.Burada bir referans başlangıç noktası alınarak iteratif olarak ilerleken her iterasyon sonunda bizim istediğimiz bir oran olan epsilon değeri adım aralıklarını kontrol etmekteyiz.Adım aralıkları istenilen düzeye geldiğinde ise iterasyondan çıkılmaktadır. Istanbul Menkul Kıymetler Borsası 30 bileşik endeksi ve 100 adet Istanbul Menkul Kıymetler Borsası senetlerinin günlük kapanış değerleriyle Tarihsel simulasyon,Varyans-covaryans methodu, Monte Carlo ve Garch (1,1) methodlarıyla volatilite tahmin edilmiştir.Methodlar birbirleri ile karşılaştırılmış değişik koşullardaki durumları incellenmiştir.Senetlerin günlük kapanış değerleri internet ortamından tek tek exceller halinde indirilip günlük işlenebilecek şekillere dönüştürülmüştür.Ham data işlendikten sonra datalar MS SQL veritabanı ortamında tutulup bu datalarla ilgili hesaplamalar matematica programlama ile yapılmıştır.Öncelikle Riske maruz değeri hesaplarken Tarihsel simulasyon ile karşılaştırmalar yapılmıştır.Tarihsel method ile geçmişteki datalar ile gelecekti riske maruz değer tahmin edilmeye çalışılmıştır.Finansal enstrümanların günlük getirileri IMKB 30 hisseleri için 322 iş günü 100 Adet IMKB hisse senetleri için ise 159 iş günü için riske maruz değerler hesaplanmıştır.Çalışmalarımızda %95 güven aralığında çalışmalar yapılmıştır.Klasik yöntemlerde hatanın varyansı sabit kabul ediliyordu. Garch modelleri ile bu varsayım geçerliliğini yitirmiştir.Garch modelleri varyansın değişken olduğu durumuna izin vermiştir. Dataların volatilite ve covaryans tahminlerinde mathematica ve Eview istatistik programları kullanılmıştır.Burada IMKB 30 hisselerini içeren hisse topluluğu için 30 X 30'luk varyans-covaryans matrisi ile 100 adet IMKB hisselerini içeren hisse senetleri içinde 100 X 100'lük varyans kovaryans matrisi ile çalışılmıştır.Burada varyans kovaryans matrisi oluşturulurken öncelikle hisse senetlerinin varyanslarını içeren matris oluşturulmuştur.Varyans matrisi oluşturulurken hisse senetlerinin varyansları hesaplanmıştır.Kovaryans matrisin herbir hücresi için hisse senetleri arasındaki kovaryanslar hesaplanmıştır.Risk tahmini yaklaşımımız olan Monte Carlo Simulasyonunun performansı üzerinde çalışmalar yapılmıştır . Burada IMKB30 ve 100 adet IMKB borsası senetlerini içeren portföyler üzerinde sentetik data üretilerek data setlerinin 322,600,1400 adet data için sonuca yaklaşımları incelenmiştir. Risk hesaplamasını yaparken ilişkili veriler üretilmiştir. Burada en kritik durum birbiri ile ilişkili datalar üretmek olmuştur.Monte carlo simülasyonunda da Tarihsel simülasyonda olduğu gibi işlemler yapılmıştır.Buradaki fark Tarihsel simülasyonda gerçek datalar kullanılırken Monte carlo simülasyonunda sentetik datalar kullanılmıştır.Birbiri ile ilişkili senetler için birbiri ile ilişkili datalar üretilmiştir.Son methodurumuz olan ile Portföyü piyasadaki ani düşüşlerden korumak için varyans-kovaryans matrisinin oluşumunda Garch metodlarından faydalanılımştır.Garch modelleri ile varyansın değişken olduğu kabul edilmiştir.Hisse senetlerin varyanları garch modelleri ile hesaplanmıştır.Hesaplamalar yapılırken E-view istatistik program ile varyanslar hesaplanmıştır.Garch modelleri ile IMKB30 hisseleri ile 100 adet IMKB içeren hisse senetleri ile hesaplamalar yapılmıştır.Garch modelleri kullanılarak varyans kovaryans matrisleri oluşturulmuştur.Garch modelleri ile hisse senetlerinin varyansları hesaplanmıştır.Varyanslar ile matrisler oluşturulmuştur.Kovaryanslar ile varyans matrislerini kullanarak varyans kovaryans matrisleri oluşturulmuştur.Varyans kovaryans matris ile riske maruz değer garch modelleri vasıtasıyla hesaplanmıştır.Son olarak IMKB 30 hisse senetlerini içeren bir portföy için verilen belirli bir getiri düzende minimum risk değeri için ağırlık fonksiyonları hesaplanmıştır.Problemimizi çözdükten sonra karşılaştırmalar kısmında dört adet risk ölçüm modelinin karşılaştırmları yapılmış ve her modelin hangi durumlar da avantajlı veya dezavantaj getirdiğinin hesabı yapılmıştır.Bu karşılaştırmalardan şu şekilde sonuçlar çıkarılmıştır.Tarihsel simülasyonda örnek modelin büyüklüğü bütün finansal enstürmanların aynı sayıda data içerme zorunluluğunun olması data toplamanını zorun ve zahmetli bir iş olması tarihsel simülasyonun dezavantajları olurken herhangi bir data dağılımı ile ilgili bir varsayım gerektirmemesi Tarihsel simülasyonun avantajlarında sayılmaktadır.Diğer bir metodumuz olan Monte carlo simülasyonunda data vektörleri arasından korele birbirine bağımlı olma zorunluluğu bir dezavantaj olmakla birlikte burada oluşan bu denklem takımını çözme gibi bir problemlede karşılaşılmıştır.Fakat örnek data modelini istediğimiz kadar büyütme ve az hata çıkması durumları monte carlo simulasyonun avantajları arasında sayılmaktadır.Varyans kovaryans metodumuzda dataların normal dağıldığı varsayımı kabülü olması dezavantaj olmakla birlikte,hesaplanması kolay olması ve daha az tarihsel dataya ihtiyaç duyulması daha duyarlı ve doğru olması varyans kovaryans metodunun avantajlı yönleri olmuştur.Son olarak IMKB 30 hisselerinin oluşturduğu portföy ile iki kısıt altında hesaplamalı problem çözülmüş ve ağırlıklar hesaplanmıştır.

In this study, the volatiliy forecasting performances of alternative volatility models are compared . Istanbul Stock Exchange 30 Index?s stocks daily closing values are utilized to forecast return volatility using historical simulation, variance- ovariance method , Monte Carlo Simulations and GARCH (1,1) Models. In classically, error variance is assumed to be constant. The assumption of a constant variance homosce-dasticity) is not valid with Garch models. GARCH models allow to deal with heteros cedasticity.Volatilities and correlations are estimated from the data with mathematica program and E-view statisticals program. We study the performance of our approach in some Monte Carlo simulations. In this part we produce syntechtic datas set for 322,600, 1400 amount of data for portfolio which concern IMKB30 and 100 IMKB stocks for comparing result with real value .We produce correlated datas for computing value at Risk.To protect portfolio against unexpected drop, We compose the variance-covariance matrix with Garch Model. To find an optimum allocation for the portfolio underlying given an expected return, we calculate the optimum weight functions for a minimum risk level. Our sampling model are developed to estimate risk of our linear equation of portfolio