Sensitivity analysis of expected shortfall by means of a second-order approximation

Abstract

Risk terimi, ekonomik, politik, sosyal ve teknolojik konularda yaygın bir kullanıma sahiptir. Genel olarak risk, özel bir hareketle ilişkili olan kayıp veya hasarın gerçekleşme ihtimalidir. Finansal olarak ise ters piyasa hareketlerinden etkilenmemek için ayrılan sermaye rezervini ifade eder. Finansal piyasalarda beklenen kayıp arttıkça beklenen kazanç da artmaktadır. Bu durum finansal kurumların aktif bir şekilde riskalmasına yol açmaktadır. Risk yönetiminin buradaki rolü, ters piyasa hareketleri yüzünden oluşabilecek kayıp miktarını belirlemek amacıyla risk tayini yapmaktır. Risk yönetimi sistemleri, birden fazla risk faktöründen oluşan pozisyon için tüm riski tayin eden bütünsel çözümler içerir. Ayrıca, risk faktörlerini ve aralarındaki etkileşimi anlamaya çalışır.Piyasa riski, finansal varlıkların değerindeki ters hareketler nedeniyle ortaya çıkan bir risk türüdür. Riske Maruz Değer (RMD), kavramsal basitliği, hesaplama kolaylığı ve hazır uygulanabilirliği sayesinde standartlaşan bir risk ölçüm tekniğidir. RMD, belirli bir güven düzeyinde elde tutma süresi boyunca olası en büyük kayıp olarak tanımlanır. RMD'den başka piyasa riski tayinine hizmet eden Beklenen Kayıp (BK) ise tutarlı bir risk ölçüm tekniğidir. BK, belirli bir eşik değerin ötesindeki ortalama kayıp olarak tanımlandığından koruyucu bir tutum sergilemektedir. Bu eşik değer çoğunlukla RMD seviyesi olarak belirlenir. BK, RMD'nin barındırdığı yetersizlikleri ortadan kaldıran özelliklere sahiptir:? RMD ötesindeki kayıp hakkında bilgi vermesi? birikimli pozisyon riskinin risk faktörlerinin birikimli riskinden küçük olması? daha genel stokastik şartlarda geçerliliğin sağlanması.Varlıkların BK tayininde kullanılan getiri oranı iki şekilde hesaplanabilir: aritmetik ve geometrik (logaritmik) getiri. Birden fazla risk faktörü içeren bir pozisyon için getirioranı, ilgili risk faktörlerinin getiri oranlarının ağırlıklı ortalaması alınarak elde edilir. Bu ilişki aritmetik getiri göz önüne alındığında tam olarak sağlanırken geometrik getiri söz konusu olduğunda sadece yaklaştırım olarak kalmaktadır. Öte yandan geometrik getiri, piyasa ilişkileri ve risk ölçümü bağlamında çalışmak için aritmetik getiriden daha elverişlidir:? Varlık fiyatlarının eksi değer almasını engeller.? Çok dönem getiri hesabı için tek dönem getirilerinin toplanması örneğindeki gibi hesaplama kolaylığı sağlar.Bu durumda BK tahmininde doğruluğu arttırmak amacıyla ağırlıklı birleşim yerine stratejik varlık dağılımı için türetilen ikinci derece yaklaştırım kullanılabilir. Önerilen ikinci derece yaklaştırımda geometrik getirilerin ağırlıklı birleşimi terimine, faktörler arasındaki kovaryansa ve faktörlerin ağırlığına dayalı terimler eklenmiştir. Matematiksel gösterilimin yanında yaklaştırımla ilgili finansal notlar:? Varlık fiyatlarının geometrik Brownian hareketini izlediği sürekli zamanda tam olarak tutmaktadır.? Kısa zaman aralıkları için daha kesin sonuçlar vermektedir.? Yüksek derecede olduğundan teorik olarak bakışımsızlık ve sivrilik etkilerini yansıtmaktadır.? Ağırlıklı birleşim ile aradaki fark, yüksek volatilite dönemlerinde büyüyebilmektedir.2007-2009 finansal kriziyle birlikte her risk faktörünü ayrıca ele almak, pozisyonun bütün riskine neden olan katkıyı daha iyi anlamak adına dikkat çekmeye başlamıştır.Bu durumda da bahsedilen yaklaştırımların hassaslık analizi, faktör paylarına göre BK birinci türevleri alınarak yapılır. Önerilen ikinci derece yaklaştırımın hassaslık analizinde aşağıdaki öğeler yer almaktadır:? eşik değere koşullu bağlılık? faktör ağırlığı? faktörler arası kovaryans, dolayısıyla korelasyon.Risk, piyasa dalgalanmaları nedeniyle pozisyonun gelecek değerinde meydana gelen değişimlerle ilgilidir. Monte Carlo yönteminin tipik bir uygulaması, finansal piyasalarda erişilebilir en iyi modellerin kullanımını mümkün kılarak olası gelecek olguların defalarca benzetimini içerir. Buna bağlı olarak çalışmada BK ve hassaslığının tahmini, Monte Carlo benzetimine dayanmaktadır. Çalışmada, varlık fiyatlarının izleyeceği model olarak logaritmik fiyat farklarına dayanan geometrik Brownian hareketi seçilidir. Dolayısıyla olasılık dağılımı normal dağılım şeklinde özelleşir. Her bir risk faktörü için risk faktörleri arasındaki korelasyonu dikkate alanrassal sayı üretiminin ardından seçilen fiyat modeli kullanılarak getiri hesabı yapılır.Son aşamada, ağırlıklı birleşime ve önerilen ikinci derece yaklaştırıma göre iki farklı BK ölçümü yapılabilir.İMKB100 endeksi, İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB) hisse senedi piyasasında temel endeks olarak kullanılır. IMKB100 endeksi içerisinden 80 adet firmaya ait hisse senetleri kullanılarak yaklaştırımların etkisi örneklenmektedir. Finansalkriz nedeniyle ortaya çıkan sapmaları vurgulamak amacıyla 01.07.2008-02.07.2009 tarih aralığı ele alınmaktadır. Öncelikle, ilgili dönem içerisinde ağırlıklı birleşim veikinci derece yaklaştırım kullanılarak elde edilen iki farklı günlük geometrik getiri sonucu, pozisyonun gerçekleşmiş günlük geometrik getirisiyle karşılaştırılmaktadır. Burada, ikinci derece yaklaştırımın pozisyonun gerçekleşmiş günlük geometrikgetirisine daha çok yakınsadığı gösterilmektedir. Sonrasında, ilgili dönemin son günü itibariyle günlük BK ölçümü ve hassaslık analizi yapılarak risk hesabı üzerindeki etkiler incelenmektedir. Sonuçta ikinci derece yaklaştırım, ağırlıklı birleşimden daha düşük BK değerleri üretmektedir. Risk faktörlerinin hassaslıkları da ikinci derece yaklaştırımda çoğunlukla daha düşük değerler almaktadır. Geometrik getiri ve risk hesaplamaları C programlama dili kullanılarak yapılmaktadır. Monte Carlo yönteminin nispeten yavaş bir yakınsaklık derecesine sahip hesaplama yükü nedeniyle dağınık bellekli mimari sisteminde paralel hesaplama tekniklerindenfaydalanılmaktadır. Çeşitli performans kriterleri aracılığıyla risk faktörü sayısı kadar işlemci kullanılarak hızlanma sağlandığı gösterilmektedir.Toplamda, daha yüksek derece bir yaklaştırım yoluyla tahmin doğrulunun arttırılmasına ek olarak dağınık bellekli mimari sisteminde bir paralel hesaplama ile benzetimdeki hızlanma vurgulanmaktadır.

Financial institutions require risk quantification in order to set a capital reserve to cover adverse market movements. Expected Shortfall (ES) is a coherent risk measure that serves the purpose of inferring market risk. Since it is described as the average loss beyond a specified threshold, ES represents a protective attitude. Identifying the overall ES for a position with multiple risk factors is achieved by a weighted aggregation of the rate of returns on the underlying risk factors. On the other hand, this relation does not exactly hold in terms of geometric (logarithmic) return. Because geometric return is the one that is more adequate to work with in the context of market relations and risk measurement than arithmetic return, a second-order approximation can be considered over weighted combination to increase accuracy in the estimation of ES. Particularly, handling each risk factor separately attract attention by the financial crisis of 2007-2009 to better understand factor contribution to the overallrisk. Sensitivity analysis of the approximations mentioned is therefore performed via first derivatives of ES with respect to position allocation. Risk refers to the variation of the future value of a position because of market fluctuations. A typical implementation of the Monte Carlo method involves simulatingrepeatedly from possible future events by enabling the use of the best available models of financialmarkets. In this study, the estimation of ES and its sensitivity is accordingly based on Monte Carlo simulation utilizing parallel computing techniques due to its computational cost with a relatively slow convergence rate. Totally, in addition to the increase in the accuracy of the estimation by a higher order approximation, it is demonstrated that the acceleration of the simulation by a parallel execution on a distributed memory system.