Finite element solution for 2-D and 3-D acoustic scattering problem

Abstract

Klasik saçılma teorisinde iki temel problem; zaman-harmonik akustik veyaelektromanyetik dalgaların nüfuz edilebilen, homojen olmayan bir kompakt destekortamdan ve nüfuz edilemez bir engelden saçılması problemidir. Bu tezde, yarıçapdoğrultusunda homojen olmayan kaplanmış küresel nesnelerle ilgili akustik saçılmaproblemi, iki-boyutlu silindirik ve üç-boyutlu küresel nesneler için araştırılmıştır.Kaplanmış silindirik/küresel nesnelerle ilgili saçılma problemleri teorik olarak ilginçolmasının yanı sıra, akustik gizleme, çapraz saçılma bölüm azaltılması, tıpta ultrasondve okyanus akustiği gibi pratik uygulama alanlarına da sahiptir.Akustik dalgalar skalar alanlar olmasına karşın, araştırmaya değer çeşitli özelliklerimevcuttur. Bunladan ilki, elektromanyetik problemlerin çoğunlukla skalar problem-lere indirgenebilir olmasıdır. Bu argüman için bir örnek vermek gerekirse, akustikdalgalar için basınç değişimi p(r,t), elektromanyetikteki E(r,t) elektrik alanınakarşılık gelir. Dolayısıyla, akustik problemler, matematiksel olarak oldukca karmaşıkolabilen vektör elektromanyetik problemlerine yaklaşım olarak kullanilabilir.Hesaplamalı bilimlerde öncelikli hedef, büyük boyutlu problemleri etkin bir şekildeçözmek amaciyla Yüksek Başarımlı Hesaplamayı etkin sekilde kullanmaktır. Hemakustik hem de elektromanyetik saçılma problemlerinde ve genel olarak tümhesaplamalı bilimlerde, karşılaşılan büyük boyutlu problemler nedeniyle bilgisayarsimülasyonları masraflı hesaplamalar gerektirdiğinden, bu alanlardaki problemlerinçözümünde verimli paralel algoritmalara ihtiyaç duyarız. Böylece bu tezde amacımız,deal.II ve Trilinos gibi yenilikçi kütüphaneler kullanarak verimli bir paralel kodgeliştirmektir.Bu çalışmada, yarıçap doğrultusunda homojen olmayan silindirik/küresel nesnelerleile ilgili akustik saçılma problemi deal.II kütüphanesi kullanılarak geliştirilen birkod ile Sonlu Elemanlar Metodu uygulanarak nümerik olarak çözülmüştür. Kodungeliştirilmesi amacıyla kütüphanenin bünyesinde mevcut halde bulunan ve Laplaceprobleminin çözümü için yazılmış örnek bir kod, akustik saçılma problemine ilişkindalga denklemine uygun şekilde modifiye edilmiş ve gerekli fonksiyon sınıflarıeklenerek genişletilmiştir.Geliştirilmiş olan bu kod, boyuttan bağımsız olarak çalıştırılabilir olup, problemin2 ve 3 boyutta çözümünü mümkün kılmıştır. Boyuttan bağımsızlık özelliği deal.IIkütüphanesinin sahip olduğu bir özellik olup, kodun geliştirilmesi aşamasında kodaeklenen her bir fonksiyona boyut değişkeni parametre olarak geçilerek bu özelliğesadık kalınmıştır. Böylece yalnızca boyut parametresinin değiştirilmesi ile hem 2 hemde 3 boyutta sonuçlar alınabilmektir. Bunun ötesinde kodu 1 boyutta koşturarak da sonuç almak mümkündür. Fakat Sonlu Elemanlar Yönteminin bir boyuttaki karşılığıçok anlamlı olmamakla birlikte, bir boyuttaki bir çözüm alanının sonlu elemanlaraayrıştırılması sıklıkla başvurulan bir yöntem değildir. Bu anlamda bu tezde 1 boyutluproblemin çözümüne dair sonuç bulunmamaktadır.Kodun geliştirilmesinin ardından, Yapınsal Çüzümler Metodu (Method of Manu-factured Solution) ile doğrulaması yapılmıştır. Doğrulama sonucunda çıktı olarakelde edilen fonksiyon, Vislt görüntüleme aracı kullanılarak görüntülenmek suretiyledoğrulama amacıyla kullanılan sürekli fonksiyonun grafiği ile karşılaştırılmıştır vesonuçların çakıştığı gösterilmiştir. Bu şekilde görsel çıktılar karşılaştırılarak yapılandoğrulamalara niteliksel doğrulama denir.Bununla birlikte nümerik çözümün doğrulanması amacıyla, yoğunluk fonsiyonu ρ'nunsabit kabul edildiği durum göz önünde bulundurularak nümerik çözümden elde edilençözümün, problemin analitik çözümü ile karşılaştırılması yapılmış ve sonuçlarınçakıştığı gözlenmiştir. Analitik çözümün formülasyonu Appendix-A'da ve nümerikçözümün analitik çözümden elde edilen çözümler ile karşılaştırılmasının sergilendiğigrafik, 5. bölümde mevcuttur.Sonlu Elemanlar Yönteminin uygulanması sonucunda elde edilen lineer sisteminçözümü, Trilinoslineer cebir kütüphanesi için deal.II kütüphanesi arayüzü kullanılarakyapılmıştır. Sonlu Elemanlar Yönteminin uygulanması ile oluşan lineer sistemlerdematrislerin seyrek (elemanlarının çoğu sıfır olan matris) olması sebebiyle matrisinsıfıra eşit olan elemanlarını elemek ve bilgisayar hafızasını daha verimli kullanmak içinsıkıştırma algoritmaları uygulanmıştır. Bu işlemi gerçekleştirmek amacıyla Trilinoskütüphanesi kullanılarak Sıkıştırılmış Satır Depolaması (Compressed Row Storage)Metodundan faydalanılmıştır.Simülasyonlar çeşitli konfigürasyonlar altında yapılmış ve elde edilen sonuçlargrafikler aracılığıyla sergilenmiştir. İki tabakalı silindirik/küresel cisimlerde akustikbasınç değişimi ya da bir diğer adıyla akustik toplam alanın ölçülmesinde, ortamprofilini belirleyen parametrelerin çesitli değerleri için nümerik sonuçlar eldeedilmiştir. Ortam profilini belirleyen fonksiyonlar; yoğunluk fonsiyonu ρ(r), dalgakatsayısı k(r), sıkıştırılabilirlik fonksiyonu ( r) olarak sıralanabilir. Bu fonksiyonlar ̄ olup çeşitli konfigürasyonlar altındayalnızca radyal uzaklık olan r'nin fonksiyonusabit ya da sürekli değerler alabilmektedir. İki katmanlı silindirik / küresel cisimlerdekaplanmış kürenin yoğunluğu radyal mesafeye bağlı sürekli bir fonksiyon, kaplamaortamının yoğunluğu ise sabit bir değer olarak kabul edilir. Tek katmanlı bir alaniçin hem yoğunluk hem de dalga sayısı fonksiyonu farklı konfigürasyonlarda süreklive sabit değerler alır. Bu konfigürasyonlardaki sonuçlar, yoğunluk fonksiyonu ρ'nunsabit alınıp alınmamasına göre büyük ölçüde farklılık göstermektedir.Hem bir hem de iki katmanlı alanlar için sıfır Dirichlet sınır koşulları dış yüzeyüzerinde zorlanır. Böylece simülasyonlarda herhangi bir dışa giden dalga bulunmazve Mükemmel Uyumlu Tabaka'nın (PML) uygulanması gerekliliği ortadan kalkar.Bu çalışmada sonlu elemanlar metodunda elemanların elde edilmesi amacıylakullanılan Uyarlamalı Izgara Geliştirme yönteminin önem taşıdığı söylenebilir.Simülasyonlar, kullanılan ızgara geliştirme yönteminin tatmin edici bir çözünürlüksağladığını ve hesaplama süresi açısından fayda sağladığını göstermektedir. Kullanılanızgara geliştirme yönteminin avantajları ve performans açısından sağladığı yararlarhızlanma analizleri yapılarak gösterilmiştir. Ayrıca kodun JURECA üzerinde yüzlerce işlemci üzerinde ölçeklendiği gösterilmiştir. Statik ızgara geliştirme metodunun duvarzamanı ile uyarlamalı ızgara geliştirme yönteminin duvar zamanı karşılaştırılarak,Uyarlamalı Izgara Geliştirme Yönteminin performans avantajları incelenmiştir. Bununyanı sıra, farklı konfigürasyonlarda elde edilen sonuçlar sunulmuş ve küreselnesnenin akustik profilini belirleyen fonksiyonların uygun bir şekilde seçilmesininsimülasyonlarda önemli yere sahip olduğu gösterilmiştir.Bu tez çalışmasında geliştirilmiş olan kod, akustik/elektromanyetik düz ve ters saçılmaproblemlerinin çözümünde kullanılmak için iyi bir temel oluşturmuştur. Koddayapılacak olan sınırlı değişiklikler ve eklenecek fonksiyonlar ile farklı problemlerinçözümünde kullanılabilmesi mümkündür.Son olarak, bu tez çalışmasındaki simülasyon sonuçları, geliştirilen kodun Al-manya'nın Jülich şehrinde bulunan Jülich Süperbilgisayar Merkezindeki JURECAsüperbilgisayarı üzerinde koşturulması ile elde edilmiştir.

In this work acoustic scattering problem related to radially inhomogeneous spheres isinvestigated. For solution of this problem, Finite Element Method(FEM) is employedwith using high order finite elements. For that purpose, the problem is first translatedinto the weak formulation and then formulated via Galerkin Finite Element Method.Subsequently Finite Element discritizaiton of the problem is derived. AdaptiveMesh Refinement(AMR) is employed as for the mesh refinement method and alsoa performance analysis of AMR versus static mesh refinement is done on JURECAsupercomputer.In this regard, a code is developed based on deal.II library by enhancing one of theexample programs in the library. The code is developed in a dimension independentmanner so that we can solve the problem for both two-dimensional (2-D) cylindricaland three-dimensional (3-D) spherical objects. As for 1-D problem, perhaps one canhave results by running the code with setting the dimension parameter dim = 1. Butwe should keep in mind that Finite Element discretization of the 1-D problem is notvery convenient and meaningful due to the elements obtained by splitting a line intopieces.Following the development of the code, the Method of Manufactured Solutions(MMS)is employed in order to validate the code by using a qualitative verification method.As a result of the verification, the output function obtained by running the code iscompared with the graph of the continuous function that is used for the verification.The results are visualized using the visualization tool called Vislt. It is observed that theoutput image of the code shows a very good agreement with the graph of the continuousfunction.Furthermore in the case of the constant density function, for one layered problem,the numerical solution is compared to the analytical solution. It is observed that theresult of the numerical solution perfectly matches with the analytical solution of theproblem. Derivation of the analytical solution is peresented in Apentix-A and thegraph that illustrates both the numerical and the analytical solution results are presentin Chapter-4.Simulations show that the employed method gives satisfactory resolution and alsoprovides benefit in terms of the computation time due to the mesh refinement methodused. Speedup analysis is done and it is shown that the code scales up to hundredsof processors on JURECA. The wall time of the static mesh refinement and AMR isintroduced and the performance advantages of AMR has been demonstrated.Moreover, results that are obtained under varying configurations of the acousticparameters are presented. For two layered medium, density of the coated sphereand the coating medium are assumed as a function of radial distance and a constant respectively. Whereas for one layered domain, both density and the wave numberfunction takes continuous and constant values under different configurations.For both one and two layered domain, zero Dirichlet boundary conditions is enforcedon the outer surface so that no outgoing wave is present in the simulations thusPerfectly Matching Layer(PML) is not needed to be applied.Consequently, it is shown that the appropriate choice of the functions that determinethe acoustic profile of the cylindrical/spherical object are of significant importance inthe simulations.