Utilizing mathematica software solution of boundary value problems in nuclear engineeringby the greens function method

Abstract

Bu tezde Mathematica yazılımını kullanarak nükleer mühendislikde karşılaşılan sınır değer problemlerinin çözümü çalışılmıştır.Günümüzde hemen hemen bütün gerçek problemlerin çözümü için bir bilgisayar kullanımı gerekmekdedir. Bilim ve mühendislikde bilgisayar kullanımı esnasında gereken yazılımları programlama dili, grafiksel işlem ve data derleme yazılımları gibi sınıflara ayırabiliriz. Bu yazılımlar arasında Mathematica özel bir yere sahiptir. Zira Mathematica, nümerik, grafiksel, programlama gibi işlemlerin yanısıra sembolik işlem yapabilme özelliğini taşımaktadır. Bu tez çalışmasında, diğer hususları da kısmen kullanmakla beraber, bu son özelliği kullanarak model problemlerin ortaya konulan çerçevede analitik çözümleri çalışılmıştır. Mathematica' nın birinci versionu ilk defa Apple Macintosh Computers 1988 yılında kullanıma sunulmuştur. Günümüzde geniş bir yelpazede farklı bilgisayarlar sistemi için Mathematica' nm üçüncü versionu kullanılmakdadır. Mathematica'nın matematiksel işlemler için genel bir yazılım olması sebebiyle lise öğrencilerinden yüksek lisans öğrencilerine, araştırmacılara, mühendislere ve bilim adamlarına kadar geniş bir çerçevede kullanıcısı bulunmakta ve sınıfının en önde gelen Matematik yazılımını temsil etmektedir. Bu tezde bir boyutlu ve iki boyutlu sınır değer problemlerini çalışılmıştır.Amaç bu tip ». problemleri Mathematica'nın sembolik işlem yapabilme özelliğini kullanarak çözmektir. Matematikde karşılaşdığımız sımr değer problemlerinin çözümü için bir çok method vardır: Değişkenlere ayırma, integral transform ve Green's fonksiyon methodu sınır değer problemlerinin çözüm tekniklerinin başlıcalandır. Biz sınır değer problemlerinin analitik çözümüyle ilgileniyoruz. Bu teknikler arasında Green's Fonksiyon methodu özel bir öneme sahiptir. Çünkü bu method sımr değerproblemlerinin çözümü içinde en etkili çözüm tekniğidir. Bu durum diğer tekniklerle karşılaştırılarak daha iyi anlaşılabilir. Değişkenlerine ayırma tekniğinin uygulamasında homojen olmayan şartlara (denklemde vede sınır şartları çerçevesinde) özel bir önem atfetmek gerekir. Homojen olmayan şartların muamelesinde Splitting tekniğine başvurulur. Diğer taraftan integral transform metodununun uygulanışında sonlu ortam problemleri birtakım güçlüklere (Fourier transformu) sebeb olur veya integral transform sadece ilk değer problemlerinde etkilidir (Laplace Transformu). Green fonksiyon metodunun etkili bir metod oluşunun yanısıra sınır değer problemlerinin çözümü için çok sistematik bir çözüm tekniği sağlar. Ayrıca Green Fonksiyonu metodu Mathematica'nın sembolik işlem yapabilme özelliğine uygun bir metod olarak karşımıza çıkar. Bu çalışmada Green's Fonksiyon methodunu kullanılarak sadece kararlı hal problemleri ele alınmıştır. Mathematica'nın ilk değer problemlerinde de etkin bir şekilde kullanılmasına karşılık bu tez çerçevesinde ele alınmamıştır. Tezde bir ve iki boyutlu kararlı hal sınır değer problemleriyle ilgilenilmiştir. Bir boyutlu problemler adi diferansiyel denklemlerle iki boyutlu problemlerde kismi diferansiyel denklemlerle formüle edilmektedir. Buna bağlı olarak sırasıyla bizim bir boyutlu ve iki boyutlu Green Fonksiyonlarına ihtiyacımız vardır. Dolayısıyla tezde smır-değer problemlerinin çözümü, çözümün Green fonksiy oları cinsinden ifadesine indirgenmesi vede Green fonksiy onlarının belirlenmesi teorilerine yer verilmiştir. Tezde ilgilenilen konular bazı sınıflamalarla ele alınmıştır. Buna göre ilk olarak karşımıza çıkan diferansiyel denklemlere ait operatörlerin sınıflaması gerekmektedir. Bu çalışmada biz Laplace ve Klein-Gordon uzay form (space form of Klein-Gordon - KGS) operatörlerini kullanacağız. Seçilen bu iki operatör, nükleer mühendisliğin iki temel problemiyle ilgilidir. Bu problemler ısı transferi ve nötronikdir. Kararlı halde ısı, iletimi Poisson denklemi ( Laplace operatörünün kullanılmasını gerektirir) ile formüle edilir. Diğer taraftan kararlı-hal nötron diffüzyon denklemi KGS formuna sahiptir. Ayrıca, en fazla karşılaşılması sebebiyle Kartezyen ve silindirik geometri problemleri ele alınmıştır. Buna ilave olarak silindirik koordinatlarda katı ve eşmerkezli silindirel disk geometrileri gözönünde bulundurulmuştur. Nihayet yukarıda da bahsedildiği gibiilgili problemler bir ve iki boyutlu olarak ele alınmış ve sadece sonlu ortam problemleriyle ilgilenilmiştir. Sınır-değer problemlerinin Green fonksiyonu metodu ile çözümüyle ilgilendiğimiz zaman, çözüm önce Green fonksiyonları ile ifade edilecek forma indirgenir. Sonra Green fonksiyonları bulunur. Diğer bir ifadeyle işlem iki aşamalıdır. Green fonksiyonlarının belirlenmesi ve çözüm. Bu amaçla Green fonksiyon' larının yukarıda verilen sınıflandırılmalara göre Mathematica'da nasıl bulunduğunu gösterilmektedir. Green fonksiyonlarının belirlenmesinde ortaya çıkan bir etken de sımr şartlandır. Tezde her hal ayrı ayrı ele alınarak verilen sınır şartlarına göre Green fonksiyonlarını analitik ve sembolik ifadeler tarzında heasplayan Mathematica notebooklan geliştirilmiştir. Bu notebokklar sınır şartlarım karekterize eden başlangıç parametreleri verildiğinde herhangi bir sınır şartlan kombinasyonu için hesaplama yapmaktadır. Tezde, bu tarzda bir veya iki boyutlu Green fonksiyonlannı hesaplayan ham notebooklar verilmiş ve 1-D hale ait sonuçlar tabloda ifade edilmiştir. 2-D hale ait sonuçlann tabloda ifade edilmesi, her hale ait 81'e ulaşabilen sımr şartı kombinezonu bulunması sebebiyle pratik değildir. Bunun yerine, iki boyutlu Green fonksiyonlan daha sonra bahsedilecek örnek problemlerde kullanılmıştır. Sınır değer takibeden safha, Green fonksiyonlan bilindiğinde problemin çözümünü bulmaktır. Bu amaçla tezde aynca bütün halleri karekterize eden sayıda çözümü bulan Mathematica notebook parçalalan oluşturulmuştur. Tezde son safha uygulamaları oluşturmuştur. İlk olarak iki ısı iletimi problemi seçilmiştir. Bu iki problem bu kısma kadar olan çalışmanın birebir uygulaması şeklindedir. Bu problemlerde bir iki boyutlu levhada vede bir iki boyutlu eşmerkezli silindirik bölgede sıcaklık dağılımlan bulunmakta ve sonuçlar Mathematica'nın grafik, opsiyonu kullanılarak uzaysal sıcaklık profili olarak ifade edilmektedir. Bundan sonra, tezde ele alman uygulamalar, yine hem buraya kadar ortaya konulan teorilerin uygulaması hemde Mathematica'mn sembolik işlem yapabilme kapasitesi yanısıra diğer özelliklerini, nümerik, programlama v.b. sergilemeye yöneliktir. Bu amaçla ele alınan problemlerin ilki bir boyutlu komposit ortam problemidir. Sözkonusu problem Nükleer mühendislikte çok sayıda karşımıza çıkan bir problemi temsil eder. Örneğinnükleer reaktörlerde kalp ve reflektör bölgesi veya bir nükleer yakıt elamanında, pellet, zarf gibi. Bu problem tezde daha önce ortaya konulan lokal Green fonksiyonları kullanılarak, analitik olarak nasıl çözüleceği tasvir edilmiştir. Ayrıca bu uygulamada ortaya konulan hususlardan birazdan bahsedeceğimiz kritiklik hesabı uygulamasında yararlanılmıştır. Bu uygulama için düzlem geometri M bölgede çözüm yapabilen Mathematiaca Notebook' u geliştirilmiştir. Tezde ele alman diğer bir uygulama nükleer reaktörlerin yansıtıcı kazancı (reflector savings) problemidir. Bu uygulamada yine Green fonksiyonları kullanılarak yansıtıcılı bir reaktörün kritiklik bağıntısı ortaya konmuş ve buna bağlı olarak yansıtıcı kazancını verilen nükleer parametrelere ve geometriye göre hesaplayan bir Mathematica Notebook'u yazılmıştır. Tezde ele alman uygulmaların en sonuncusu ve en önemlisi kritiklik hesabıdır. Bu konu nükleer mühendisliğin temel problemlerinden biridir. Bu problem verilen reaktör boyutu için kritikliği oluşturacak malzeme kompozisyonunun tayin edilmesi şeklinde karşımıza çıkar. Bu da bir özdeğer probleminin çözümünü gerektirir. Bu problem çözümünde bulunan en büyük özdeğer kritik reaktör konfigürasy onunu gösterir. Genelde, kritiklik araştırmalarında bir iç ve bir dış iterasyon procedürüne ihtiyaç vardır ve nümerik çözüm genellikle çoğalma faktörü olarak adlandırılan özdeğerin, keff çözümüne yakmsayana kadar sürer. Diğer yandan çok gruplu reaktör hesaplamalarında grup kaynakları gerçekde bilinmeyen grup akılarının bir fonksiyonudur. Böylece bir dış (kaynak veya güç) iterasyon procedürü kritiklik özdeğeri kess ile birlikde bu bilinmeyen grup kaynaklarını belirlemek için uygulanır. Diğer yandan daha önceden seçilen grup kaynakları kullanılarak, grup akılarının çözümü için iç iterasyon procedürü uygulanır. Bu amaçla Argonne Kod Merkezi Benchmark Problem kitabında yeralan ANL-BSS-6-A2 problemi ele alınmıştır. Gerçekde, bu problem transient reaktör çalışmaları için bir benchmark problemidir. Ancak sabit hal şartları benchmark probleminde verilmez. Diğer yandan verilen boyutlar ve reaktör kompizosyonu için verilen reaktörün başlangıç kritiklik şartlan bu tezde çalışılan benchmark problemininde bir bölümüdür. Bu problemi çalışırken yaklaşımımız yukarda bahsedilen genel prosedürden kısmen farklı bir tarzda uygulanmıştır. Grup akılarınınçözümünde iteratif teknik yerine lokal Green fonksiyonlarını kullanarak her bölge için analitik bir çözüm gerçekleştirdik. Bu amaçla bir boyutlu komposit ortam probleminin çözümünde tasvir edilen yaklaşımı kullanılmıştır. Ayrıca bu uygulamada Mathematica'nm programlama özelliğide kullanılmaktadır. Bu çalışmada ele alınan teoriler ve uygulamalar basit model problemlerin çözümüme yöneliktir. Diğer taraftan daha gerçekçi ve komplike mühendislik problemlerin çözümünde geliştirilmesi gereken bilgisayar kodlarını, bu tezde gösterilen basit model problemler seçerek ve sonuçlan Mathematica'nm sonuçlarıyla karşılaştırarak test etmek mümkündür. Bu tezin içeriği şöyledir. Bölüm- 1 Giriş bölümüdür. Green' s fonksiyon methodu ile sınır değer problemlerinin çözümü Bolüm-2 de verilmiştir. Üçüncü bölümde, teorilerin Mathematica uygulamalarını veriyoruz. Green's fonksiyonlarını hesaplayan ve çözümü gerçekleştiren Mathematica notebooklan bu bölümün konusudur. Dördüncü bölümde sımr-değer problemlerinin ısı transferi uygulamaları bir boyutlu kompozit ortam problemi, yansıtıcı kazancı problemi, ve kritiklik problemi sunulmaktadır. Son olarak beşinci bölümde sonuç ve değerlendirmelere yer verilmiştir.

Utilizing the Mathematica software, this thesis study covers the solution of boundary- value problems which are encountered in nuclear engineering problems. Today, for the solution of almost all realistic problems we need to use a computer software. In this respect, the numerical computation plays a major role. Among all these kinds of software, Mathematica has a special place that, it is capable of performing symbolic operations in addition to numerical operations and graphical, programming etc. In this thesis, we study primarily, boundary- value problems. Our purpose is both to solve these problems and also show how symbolic operation capability of the Mathematica is benefited. For the solution of boundary-value problems in Mathematics, since our interest is directed basically to analytical solutions of boundary value problems, we can consider Green's function method as a solution tool. This method provides the most effective solution technique for boundary-value problems and also it is quite compatible using Mathematica software to handle these problems. In this study, we deal with only steady-state one and two-dimensional boundary value problems. For this purpose we consider the Laplace and the space form of Klein-Gordon (K.G.S) operators. The reason that these two operators chosen are related to two fundemantal problems of nuclear engineering, namely the heat transfer and neutronics. While the steady-state heat conduction is represented by the Poisson equation (which necessiates to handle Laplace operator), the steady-state neutron diffusion equation is identified as having the space form of K-G equation. Finally we will study Cartesian and cyclindrical geometry problems which are most frequently encountered. Here we treat one dimensional and two dimensional problems in Cartesian (x or x and y) and cylindrical geometry (r or r and z) Once the solution of Green's functions is available, the solution of boundary-value problems, which is our main concern, is usually trivial. In applications part, we showed how to obtain this solution. Also we applied these theories to general examples. These examples are selected as one-dimensional composite medium, reflector saving problem and criticality problem. For the latter, we considered initial condition of the benchmark problem. A widely used this one-dimensional benchmark problem is identified as ANL- BSS-6-A2 problem that is listed in the Argonne Code Center Benchmark Problem Book. In this study, we intended to give mathematical theory of essentially nuclear enginering related boundary value problems and to show how to apply Mathematica software for the solution of these problems. Our applications are chosen from model problems. This is especially important for testing and benchmarking of the developed computer codes, which are written down to, solve more realistic and complicated engineering problems. m