Sonlu elemanlar yöntemi ile ek akı hesabı

Abstract

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE EK AKI HESABI ÖZET Sonlu elemanlar yöntemi matematiksel fizikteki kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde etkili bir yöntemdir. Bu yöntem ısı transferi, akışkan mekaniği ve radyasyon iletimi hesaplamalarında kullanılmıştır. Diferansiyel denklem kendine ek olduğunda sonlu elemanlar yöntemi bu denklemin direkt çözümü yerine fonksiyonelinin minimumunu veren fonksiyonun aranmasını temel almaktadır. Bu yöntem, sonlu elemanlar yönteminin temel aldığı yegane yöntem değildir. Ağırlaştırılmış kalıntılar tekniği kullanılarak, Galerkin türü bir sonlu elemanlar formülasyonu oluşturulabilir, ikinci yaklaşım, fonksiyoneli ortadan kaldırmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi kendine ek özelliği olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi fizik ve mühendisliğin değişik alanlarında karşımıza çıkan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılmıştır. Gerilme analizi, ısı transferi, akışkanlar mekaniği, nötron difüzyonu ve transportu yukarıda bahsedilen alanlardan bazdan için örnek teşkil edebilir. Diferansiyel denklem kendine ek olduğunda, sonlu elemanlar yönteminin uygulanması sonucu ortaya çıkan lineer sistemdeki katsayılar matrisi simetrik ve pozitif kesin bir yapı arzeder. Ortaya çıkan lineer sistem direkt veya iteratif yöntemlerle çözülebilir. Yüksek dereceli polinomsal temel fonksiyonların sonlu elemanlar yönteminde kullanılabiliyor olması, daha yüksek yakınsama derecelerinin elde edilebilir olmasını sağlamaktadır ve sayısal çözümler çoğu zaman bir çok durumda alternatif yöntemlere nazaran daha üstündür. (Ör. Sonlu farklar yöntemi). İzoparametrik sonlu eleman olgusu, eğrisel kenarların söz konusu olmasını ve sonlu elemanlar yöntemi kullanılması ile de geometrik karmaşıklığın engel teşkil etmesini sona erdirmiştir. Sonlu eleman olgusunun nötron difüzyon ve transportu çözümlerinde kullanılması 1970'lere uzanmaktadır. Nötron transport ve difüzyon denklemlerinde hem varyasyonel çözümler hem de Galerkin türü sonlu elemanlar formülasyonu kullanılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi ile etkin çoğaltma katsayısı ve akı dağılımlarını hesaplamak ve belirlemek etkin bir biçimde başarılabilmiştir. Sonlu eleman yöntemi detaylı akı dağılımlarının hem düzenli hem düzensiz geometrilerde hesaplayabilen etkin ve değerli bir yöntem olduğunu ispatlamıştır. Nötron difüzyon hesaplamaları sadece akı dağıntılarının hesaplanması için değil aynı zamanda ek akı dağılımlarının hesaplamaları için de yürütülmektedir. Fakat sonlu eleman nötron difüzyon formülasyonlarının büyük bir kısmı nötron akı dağılımlarına yönelmiştir ve ek akı hesaplama özellikleri genelde geliştirilmemiştir. viiiBu çalışmada çok gruplu nötron difüzyon teorisi çerçevesinde çalışılması tercih edilmiş ve hem akı hem de ek akı hesabı yapabilen, etkin çoğaltma katsayısını hesaplayan bir sonlu elemanlar programı geliştirilmiştir. Sıfır akı boşluk sınır koşulu altında klasik varyasyonel yöntemlerden hareket edilemeyeceği üzere ağırlaştırılmış kalıntılar ilkesine dayanan sıfır akı ve ek akı sınır koşullarını sağlayan Galerkin türü sonlu eleman formülasyonu tercih edilmiştir. Bu sınır koşullarının kullanılması akı ve ek akının pertürbasyon teorisi hesaplamalarında belirlenebilmesi için gereklidir. Reaktör teorisindeki ilk araştırmacıların çoğunun nükleer fizik alt yapışma sahip olmaları yaygın olarak kullandıktan bazı yöntemleri reaktör fiziğine taşımalarına sebep olmuştur. Bu yöntemlerden en yaygın olanı pertürbasyon teorisidir. Pertürbasyon teorisi nötron transport veya difüzyonuna uygulandığında ek akı ek difüzyon ve transport denklemlerinin öz-fonksiyonu olarak gözükmektedir. Bu söylemde ek akı matematiksel bir soyut kavram olarak gözükmektedir. Fakat ek akı üzerine yapılan daha sonraki çalışmalar göstermiştir ki ek akının nötron önemi olarak tanımlanabilecek bir fiziksel yorumu vardır. Bu ek akının nötronun kinetik enerjisinin nükleer sistemdeki reaktivite ile ilişkisini gösterdiğini belirtmektedir. Ek akının yüksek olduğu yerlerin reaktiviteye etkileri daha çoktur. Bu da reaktör analizlerinde ek akı hesabının önemini ortaya koymaktadır. Bu çalışmada çok gruplu difüzyon teorisinde kritikalite ve öz-değer hesaplamaları yapabilen bir program geliştirilmiştir. Geometri tek boyutlu silindirsel geometri ile sınırlandırılmış ve Galerkin türü sonlu eleman yöntemi programın teorik temelini teşkil etmektedir. Lagrange türü dördüncü dereceye kadar polinomlar formülasyon ve programda kullanılmıştır. İsmi 75YIL olan program (Bu isim programa Türkiye Cumhuriyeti 'nin 75 nci kuruluş yılı anısına verilmiştir.) FORTRAN dilinde yazılmış ve LINUX işletim sisteminde derlenmiş ve koşulmuştur. Bu tezin oluşturulmasında gösterilen çalışmaların başlangıcı bu program için olmuştur. Bu amaçla analitik çözümleri bilinen problemler koşulmuştur. Sayısal ve analitik çalışmaların sonuçlarının birbirinden ayrılamadığı görülmüştür. Analitik çözümlü bu problemler tezin değerlendirme kısmını oluşturmaktadır. Bu tezin amacı çok gruplu nötron difüzyon denklemlerini çözebilen, ek akı dağılımı yanında etkin çoğaltma katsayısı ve nötron akı dağılımlarım da belirleyebilen bir sonlu eleman programı geliştirmek olmuştur. Bu amacın başarıldığı koşulan örnek problemlerden de görülmüştür. 75YIL programı akı ve ek akı dağılımlarını belirleyebilmekte ve gelecekteki pertürbasyon teorisi uygulamaları için uygun bir temel teşkil etmektedir. IX

ADJOINT FLUX CALCULATION BY USING FINITE ELEMENT METHOD SUMMARY The finite element method is an efficient numerical technique for the solution of partial differential equations of mathematical physics. The method has been used in various disciplines including heat transfer, fluid mechanics, stress analysis and radiation transport. When the governing differential equation is self-adjoint, the finite element method is based on the minimization of a certain functional, instead of the direct solution of the differential equation. But the functional method is not the only technique on which the finite element formulation could be based. Weighted - residual techniques could also be utilised and a Galerkin type finite element development could be constructed. The latter approach enables the utilization of the element method in solution of partial differential equations which lack self-adjointness. The finite element method have been used in solution of partial differential equations which lack self-adjointness. The finite element method has been used in solution of partial differential equations in various areas of physics and engineering. Stress analysis, heat transfer, fluid mechanics, radiation transport are some of the branches that could be cited in that context. When the governing differential equation is self-adjoint, the coefficient matrix resulting from finite element discretization is positive-definite and posseses a symmetric - banded structure. Consequently, the resulting linear systems could be solved most efficiently by direct or iterative methods. Since high-order polynomical basis functions could be used in finite element method, higher convergence rates could be obtained and numerical solutions are in most cases superior to competing alternative methods (i.e. finite differences). Isoparametric finite element concept makes domains with curved boundaries amenable to finite element solution ; geometric complexity ceases to be an obstacle with finite elements. The use of finite-element concepts in the solution of neutron diffusion and transport theories dates back to 1970 's. Both variational and Galerkin-type finite element formulations have been used in the solution of neutron transport and diffusion problems. Determination of effective multiplication factor and flux distributions are accomplished by such finite element calculations in an efficient manner. Finite element method has proved itself to be valuable in calculation of the detailed flux distributions in both regular and irregular geometries. Neutron diffusion calculations are not carried for only evaluation of the flux distributions; in many cases adjoint flux distributions are also needed. But an overwhelming majority of finite- element neutron diffusion formulations is directed towards the calculation of neutron flux distribution and adjoint flux calculation ability is usually not developed.In this work, working under the formalism of multigroup-diffusion theory is preferred and it is tried to develop a finite element program which has the capability of obtaining both flux and adjoint - flux distributions. Since the classical variational formulation is restricted to the zero-incoming current vacuum boundary conditions it is opted to develop a Galerkin type finite element formulation based on the weighted residual principle which incorporates zero flux and adjoint flux boundary condition at vacuum boundaries. The use of those boundary conditions is required in the determination of the flux and the adjoint flux in perturbation theory calculations. Since most of the first researchers in reactor theory had a nuclear physics background, they carried out some of the prevelant methods there to the area of reactor - physics. The perturbation theory is a prominent example among these. When perturbation theory is applied to neutron transport or diffusion, adjoint flux first appears as the eigenfunction of the adjoint diffusion or transport equation. In this context, adjoint flux appears to be a mathematical abstraction. But later studies about the adjoint flux showed that adjoint flux has a physical interpretation as neutron importance. That is adjoint flux shows the importance of a certain position and neutron kinetic energy in relation to reactivity worth of the nuclear system. Points where adjoint flux are large have a more important effect on reactivity. Due to these and other reasons, adjoint flux calculation is a necessary part of reactor analysis. In this work, a program which can carry out criticality - eigenvalue calculations in multigroup diffusion theory is developed. The geometry is restricted to one dimensional cylindrical geometry and Galerkin type finite element method constitutes the theoretical basis of the program. Lagrange-type interpolatory polynomials up to degree four have been used in the formulation and have been implemented in the program. The program which has been named 75YIL (which means seventy fifth year, commemorating 1998, the seventyfifth anniversary of the foundation of the Republic of Turkey) has been written in FORTRAN and is compiled and run in LINUX operating system. Initial efforts in construction of this thesis have been directed to the validation of the program. For this purpose, problems with known analytical solutions had been run. The analytical and numerical flux distributions turn out also to be indistinguishable. These problems with analytical solutions constitute the validation part of this work. XIThe objective of this thesis have been to develop a finite element program, which has the ability to solve the multigroup neutron diffusion equations and obtain the adjoint flux distribution besides the effective multiplication factor and the neutron flux. This objective has been accomplished, as the cited example problems show. The program, 75YIL is capable of evaluating both flux and adjoint flux distributions and constitutes a suitable basis for fixture perturbation theory applications.